Слайд 1ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Слайд 2Определение оригинала по изображению. Теоремы разложения
Если известно изображение, то
оригинал может быть найден тремя путями:
с помощью таблицы оригинал –
изображение;
с помощью теоремы свёртки в области оригинала;
путём осуществления обратного преобразования Лапласа по формуле обращения с применением теории вычетов.
Продемонстрируем первый путь на конкретном примере
Слайд 3Пример 10. Пусть дано изображение
и требуется найти оригинал f(t), соответствующий
этому изображению
Разложим изображение на элементарные дроби:
Слайд 4
Таким образом,
Из таблицы оригинал – изображение
тогда сам оригинал
Слайд 5 График функции (оригинала) f(t)
Слайд 6 Пример получения оригинала по заданному изображению с помощью свёртки был
приведён ранее (см. пример 10).
Вычисление интеграла
(4)
удобно производить с помощью вычетов.
Пусть функция F(p) является изображением, то есть она аналитична в полyплоскости Rep > c0, стремится к нулю при | p |→∞ в любой полуплоскости
Rep ≥ c > c0 равномерно относительно argp, и интеграл (4) абсолютно сходится. Пусть, кроме того, функция F(p) при Rep < c0 имеет конечное число особых точек – полюсов.
Слайд 7 Функция F(p) удовлетворяет условиям леммы Жордана, тогда интеграл
вычисленный по
прямой, параллельной мнимой оси, сходится к контурному интегралу, где контур
интегрирования состоит из указанной прямой и дуги бесконечно большого радиуса. Применяя теорему о вычетах, получим
где p = pk – полюсы функции .
Слайд 8 Т.к. изображение F(p) аналитично при Rep > c0, то полюсы
лежат левее прямой Rep = c0.
Пусть изображение является рациональной функцией,
то есть представляет собой отношение двух многочленов
причем m < n и коэффициенты a и b – вещественные числа. Вычислив корни знаменателя, представим это выражение в виде:
где kl – кратность корня, причем
Слайд 9 Принимая во внимание формулу о вычете относительно кратного полюса, получим:
(27)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть теперь
все корни знаменателя A(p) изображения F(p) будут простыми (не кратными), то есть kl = 1. Тогда
следовательно для простых полюсов изображения F(p)
(28)
Слайд 10 где A'(pi) – производная многочлена A(p), взятая в точке p
= pi.
Если в выражении A(p) присутствует один нулевой корень, т.е.
, где
то формула (28) приобретает вид:
(29)
Формулы (27) - (29) позволяют получить оригинал по соответствующему ему изображению, причем это изображение должно иметь вид рациональной дроби. В этом случае получение оригинала сводится к определению полюсов функции F(p) и, в зависимости от характера этих полюсов, применить какую-либо из указанных формул. Эти формулы называются теоремами (формулами) разложения.
Слайд 11 Пример 11. Найти оригинал для изображения
используя теоремы разложения.
Изображение содержит простой
нулевой полюс и два простых ненулевых полюса
поэ-тому применим формулу (29). Здесь
тогда
Слайд 12
Теоремы (формулы) разложения являются универсальным средством для определения оригинала по
известному изображению, однако иногда их применение затруднительно и громоздко, особенно
в тех случаях, когда полюсы функции F(p) представляют собой комплексные числа. В таких случаях оказывается более удобным использовать свойства прямого и обратного преобразований Лапласа совместно с таблицей «оригинал – изображение» по Лапласу.
Слайд 13 Формулы (27) - (29) целесообразно применять при работе с математическими
пакетами на персональных компьютерах, где реализованы алгоритмы численного определения корней
полиномов высокой степени (до n = 19).
Слайд 14Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
С помощью преобразования Лапласа
можно весьма просто производить решение линейных диф-ференциальных уравнений с постоянными
коэффици-ентами (см. теорему 8)
Заменяя производную на pnF(p) и учитывая начальные условия, можно получить функцию Φ(p), для которой с помощью таблицы преобразования Лапласа, свертки в области оригиналов или формул разложения может быть получен оригинал, то есть решение дифференциального уравнения.
Слайд 15Пример 12. Решить дифференциальное уравнение:
Ранее, в примере 8, при рассмотрении
теоремы о дифференцировании оригиналов было получено изображение этого уравнения:
Разложим изображение
на элементарные дроби и найдём оригиналы для каждого из слагаемых:
Числитель изображения
Слайд 16
т.е.
отсюда
Таким образом,
Поскольку
Слайд 17 то оригинал
Производные от оригинала:
Проверка начальных условий:
Начальные условия совпали с заданными.
Проверка
решения:
Получено тождество!
Слайд 18Применение формулы (интеграла) Дюамеля
Часто получение изображения функции f(t) в
дифференциальном уравнении затруднительно. Рас-смотрим один из возможных вариантов решение этой
задачи.
Пусть дано уравнение
(30)
и заданы нулевые начальные условия
Пусть также есть уравнение
(31)
и аналогично
Операторная форма записи уравнений (30), (31) будет иметь вид
Слайд 19
(32)
где
Решая систему уравнений (32), будем иметь:
Но при
, поэтому
(33)
или
(34)
Слайд 20 Формулы (33), (34) называются формулой или интегралом Дюамеля.
Пример 13.
Найти решение уравнения
при
Для уравнения
при нулевых начальных условиях изображение X1(p) определится из операторного уравнения
и будет иметь вид:
Слайд 21 Определим коэффициенты A, B и C:
отсюда
Тогда
Решение заданного уравнения найдется
по формуле (33) Дюамеля:
Слайд 22
П р о в е р к а н а
ч а л ь н ы х у с л
о в и й.
Производная от полученного решения
Решение удовлетворяет заданным начальным условиям.
Слайд 23Понятие передаточной функции
Пусть задано устройство, описываемое системой линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, на вход которого подано воздействие x(t).
Пусть устройство
не обладает начальным запасом энергии, т.е. начальные условия по внутренним переменным и их производным – нулевые.
Система из n линейных дифференциальных уравнений может быть представлена линейным дифференциальным уравнением n-ой степени вида:
– постоянные коэффициенты, причём
Пусть
тогда, с учётом нулевых начальных условий, операторная форма записи уравнения (35) будет иметь вид
Слайд 25 Возьмём отношение
Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при
нулевых начальных условиях называется передаточной функцией W(p) устройства или системы.
Понятие
передаточной функции является основополагающим при исследовании линейных непрерывных или импульсных систем автоматического управления.
