Разделы презентаций


Производная функции

Содержание

Определение производнойПусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).Аргументу x придадим некоторое приращение :хf(x )x+Δxf(x+ Δx )Найдем соответствующее приращение функции:Если существует пределто его называют производной

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Производная функции
Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Производные основных

элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование

Производная функцииОпределение производнойГеометрический смысл производнойСвязь между непрерывностью и дифференцируемостьюПроизводные основных элементарных функцийПравила дифференцированияПроизводная сложной функцииПроизводная неявно заданной

Слайд 2Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале

(a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение :
х
f(x

)

x+Δx

f(x+ Δx )

Найдем соответствующее приращение функции:

Если существует предел

то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Определение производнойПусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).Аргументу x придадим некоторое приращение

Слайд 3Определение производной
Итак, по определению:
Функция y = f(x) , имеющая производную

в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом

интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:

Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Определение производнойИтак, по определению:Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется

Слайд 4Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М

и М1:
х
f(x )
x+Δx
М
М1
f(x+ Δx )
Через точки М и М1 проведем

секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
Геометрический смысл производнойВозьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:хf(x )x+ΔxММ1f(x+ Δx )Через точки М

Слайд 5Геометрический смысл производной
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к

графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна

x.

Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Уравнение касательной

Уравнение нормали

Геометрический смысл производнойПроизводная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке,

Слайд 6Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Если функция f(x) дифференцируема в

некоторой точке , то она непрерывна в ней.
Теорема
Пусть функция y

= f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:

Доказательство:

где

при

По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

Функция y = f(x) – непрерывна.

Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функцииЕсли функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в

Слайд 7Производные основных элементарных функций
1
Формула бинома Ньютона:
Степенная функция:
K – факториал

Производные основных элементарных функций1Формула бинома Ньютона:Степенная функция:K – факториал

Слайд 8Производные основных элементарных функций
По формуле бинома Ньютона имеем:
Тогда:

Производные основных элементарных функцийПо формуле бинома Ньютона имеем:Тогда:

Слайд 9Производные основных элементарных функций
2
Логарифмическая функция:
Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных

элементарных функций.

Производные основных элементарных функций2Логарифмическая функция:Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Слайд 10Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в

некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Правила дифференцированияПусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С –

Слайд 11Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = φ(x)

, тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным

аргументом u и независимым аргументом x.

Теорема

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Производная сложной функцииПусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная

Слайд 12Пример
Вычислить производную функции

ПримерВычислить производную функции

Слайд 13Пример
Вычислить производную функции
Данную функцию можно представить следующим образом:
Коротко:

ПримерВычислить производную функцииДанную функцию можно представить следующим образом:Коротко:

Слайд 14Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением y = f(х)

, разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в

явном виде.

Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:

Производная неявно заданной функцииЕсли функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что

Слайд 15Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию

сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.


Логарифмическое дифференцированиеВ ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.Такую операцию

Слайд 16Логарифмическое дифференцирование
Функция

называется степенно – показательной.
Пусть u

= u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.

Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.

Логарифмическое дифференцированиеФункция              называется степенно

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика