Производная функции одной переменной Пусть х - начальная точка, (х+∆х) -

конечная точка на оси OX .
Производной от функции y=f(x) по

независимой переменной x в данной точке называется предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆х, когда ∆х произвольным образом стремится к нулю:

(3.5)

Действие отыскания производной от функции y=f(x) называется дифференцированием этой функции.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции выясняется в следующей теореме: Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой фиксированной точке x, то она в этой точке непрерывна.

по времени (по независимой переменной – времени):

(3.6)

Сравнивая (3.5) с (3.6), видим, что есть скорость изменения функции y=f(x) (скорость возрастания или убывания) в зависимости от изменения независимой переменной x . Если в точке x , то y=f(x) в этой точке возрастает, если , то y=f(x) - убывает. Большему по абсолютному значению величины соответствует более быстрое изменение функции. Таким образом, механический смысл производной - скорость изменения функции y=f(x) в фиксированной точке x.

- хорда дуги линии
графика функции y=f(x); МТ – касательная

к графику функции в точке М. При этом, когда ∆x→0, то точка М1 перемещается по дуге линии, стремясь в пределе занять положение точки М; хорда ММ1 при этом поворачивается вокруг точки М , стремясь в пределе занять положение касательной МТ, угол β в пределе стремится к углу α и тогда .Таким образом, производная функции y=f(x) в точке x равна тангенсу угла между касательной МТ и осью OX

– константа.
C’=0 - производная константы равна нулю.

2.

3.

4.

5.

Если y=y(u) и u=u(x) , то

6. Если y(x) и x(y) - взаимно обратные функции, то