Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Прямолинейные колебания точки
Содержание
- 1. Прямолинейные колебания точки
- 2. План лекции Введение. Колебания в природе и
- 3. На предыдущей лекцииДинамика материальной точки
- 4. Цель лекцииНа примере прямолинейных колебаний точки познакомиться с колебательным движением в механике
- 5. Колебания в природе и техникеФизические явления:- механические
- 6. Колебания в строительствеОсновные факторыВиды колебаний- механические- акустические- электромагнитные- тепловые- природные явления- промышленность- транспорт
- 7. Вред от колебаний:- разрушение конструкций: мосты, перекрытия
- 8. Колебания на службе человека:Создание вибрационных машин (диапазон
- 9. Свободные колебания точкиНачнем изучение механических колебаний с
- 10. Свободные колебания точкиРассматриваем прямолинейное движение точки массой
- 11. ДУ свободных колебанийСилу упругости пружины F еще
- 12. Решение уравнения свободных колебаний(5)Решение уравнения (3) в
- 13. xГрафик свободных колебаний период колебаний, [c]Общее решениеA
- 14. Постоянные интегрированияПодставим начальные условияв общее решениеПолучимНайдем постоянные интегрирования
- 15. Свойства свободных колебаний1. Амплитуда и начальная фаза
- 16. Свободные колебания при наличии постоянной силы PРассматриваем
- 17. Уравнение свободных колебаний (P=const)Общее решениеС учетом условия
- 18. Свободные затухающие колебанияСила сопротивленияСилы:Второй закон НьютонаДУ свободных затухающих колебаний- начало отсчета в положении равновесия груза
- 19. ДУ свободных затухающих колебаний1. Случай малого сопротивления средыОбщее решение уравненияВыражение для скорости(12)(13)
- 20. Постоянные интегрированияИспользуем начальные условияНайдем постоянные интегрированиячастота колебанийпериод колебаний
- 21. График свободных затухающих колебаний- экспоненциальный закон убывания амплитуды колебаний по времени
- 22. Декремент затуханияВыясним, как меняется амплитуда колебаний за
- 23. Свойства свободных затухающих колебанийОсновное влияние сопротивления среды (в случае b
- 24. Свободные затухающие колебания2. Случай большого сопротивления средыОбщее
- 25. Свободные затухающие колебания3. СлучайОбщее решение уравнения движение точки апериодическое, соответствует быстрому затуханию по времени(16)
- 26. Графики свободных затухающих колебаний в случае большого сопротивления средыа)б)в)
- 27. Вынужденные колебания
- 28. ДУ вынужденных колебаний
- 29. Для случаяОбщее решение:Это равенство должно выполнятся для любого tРешение ДУ вынужденных колебаний(18)
- 30. илиВынужденные колебания (резонанс)ПолучимПодставим частное решение полного уравненияв
- 31. Общее решениеГрафик вынужденных колебаний при резонансеПри резонансе
- 32. Свойства вынужденных колебаний
- 33. Вынужденные колебания
- 34. ДУ вынужденных колебаний
- 35. Далее воспользуемся формулами из тригонометрииВ результате получимЧтобы
- 36. Решение ДУ вынужденных колебаний
- 37. Частота, период и амплитуда вынужденных колебанийВ случае
- 38. График вынужденных колебанийа) Собственные колебанияпри наличии сопротивленияб)
- 39. Коэффициент динамичности Подставим новые обозначения статическое перемещение
- 40. Коэффициент динамичности - соотношение частот- характеризует сопротивление
- 41. - коэффициент динамичности- соотношение частот- характеризует сопротивление
- 42. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)- резонанс- сдвиг фазы (между колебаниями и возмущающей силой)
- 43. Свойства вынужденных колебаний1. Амплитуда вынужденных колебаний не
- 44. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Сложная колебательная система- имеет набор собственных
- 45. Задача 1. Замена нескольких пружин эквивалентнойa) Последовательное
- 46. Задача 1(продолжение). б) Параллельное соединение пружинВ результате получимОпределяющие соотношения
- 47. Задача 2. Груз массой 3кг совершает затухающие
- 48. Задача 2 (продолжение) Пусть
- 49. Уточнение рекомендаций к решению задач для случая
- 50. ЗаключениеСвободные незатухающие колебания: 1. Амплитуда и начальная
- 51. Заключение (продолжение)ЗАКЛЮЧЕНИЕ Вынужденные колебания: 1. Амплитуда вынужденных
- 52. Вопросы для самоконтроляКак направлена и чему равна
- 53. Тема следующей лекцииДвижение точки в неинерциальной системе отсчета
- 54. Скачать презентанцию
План лекции Введение. Колебания в природе и технике Свободные колебания (без учета и с учетом сопротивления среды)Вынужденные колебания (без учета и с учетом сопротивления среды) Рекомендации к решению задач на колебательное
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА
Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный Университет (Сибстрин)
Кафедра теоретической
механики
Слайд 2План лекции
Введение. Колебания в природе и технике
Свободные колебания
(без учета и с учетом сопротивления среды)
Вынужденные колебания (без учета
и с учетом сопротивления среды)Рекомендации к решению задач на колебательное движение
Примеры решения задач
Заключение
Времена меняются, и мы меняемся вместе с ними.
Гораций
Слайд 4Цель лекции
На примере прямолинейных колебаний точки познакомиться с колебательным движением
в механике
Слайд 5Колебания в природе и технике
Физические явления:
- механические колебания (вибрация, волны
на воде)
электромагнитные волны (оптические, радио, инфракрасные…)
акустические волны
(звук)Природные явления:
суточное вращение Земли
землетрясение и цунами
приливы и отливы
Биологические системы:
сердечно-сосудистая система
ухо + голосовые связки
эволюция биологического мира
Общество:
промышленно-технологические циклы
экономические циклы
Слайд 6
Колебания в строительстве
Основные факторы
Виды колебаний
- механические
- акустические
- электромагнитные
- тепловые
- природные
явления
- промышленность
- транспорт
Слайд 7
Вред от колебаний:
- разрушение конструкций: мосты, перекрытия зданий, трубопроводы, крылья
самолетов, лопатки турбомашин и т.д.
Примеры: трагедия такомского моста, меч статуи
Родины-Матери, шахтные вентиляторы.нарушение условий эксплуатации: вибрации станков при обработке металлов, потеря точности приборов.
вредное влияние на организм человека: работа с вибраторами, шумы на производстве, морская болезнь при шторме, игра музыкантов на определенных частотах, …
Слайд 8
Колебания на службе человека:
Создание вибрационных машин (диапазон их мощностей -
от долей ватта у зубопропезного бора, до тысячи киловатт у
вибратора ледокола).- вибропогружение и вибровыдергивание свай
измельчение, дробление, уплотнение материалов
вибротранспортировка сыпучих материалов
виброобработка металлов с целью упрочнения их поверхностей
вибротерапия в медицине для восстановления нормального давления
вибромассаж
физиолечение (токи Бернара, …)
Слайд 9
Свободные колебания точки
Начнем изучение механических колебаний с наиболее простой задачи.
Будем рассматривать прямолинейное движение точки, а именно, свободное колебание точки
без учета сил сопротивления. Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально запасенной энергии. В последующие моменты времени отсутствует внешнее воздействие на колебательную систему.
Слайд 10
Свободные колебания точки
Рассматриваем прямолинейное движение точки массой m под действием
восстанавливающей силы F.
Силу тяжести не учитываем.
Ось x – направим
в сторону удлинения пружиныo - начало отсчета в конце недеформируемой пружины
F – сила упругости пружины
c - коэффициент жесткости пружины,
- длина недеформированной пружины,
- длина деформированной пружины,
- деформация пружины
Слайд 11
ДУ свободных колебаний
Силу упругости пружины F еще называют восстанавливающей силой
всегда направлена в сторону восстановления пружины
ее модуль равен:
Составим
ДУ движения точки в проекции на ось хk – частота колебаний точки, [рад/c]
(3)
Слайд 12
Решение уравнения свободных колебаний
(5)
Решение уравнения (3) в форме
Можно получить другую
форму решения:
Связь между константами
- постоянные интегрирования
(7)
- постоянные интегрирования
начальная фаза
[радиан]амплитуда колебаний точки [м]
Колебания, совершаемые точкой по формуле (7) называются гармоническими колебаниями.
Слайд 13
x
График свободных колебаний
период колебаний, [c]
Общее решение
A – амплитуда колебаний,
[м]
k – круговая частота колебаний
начальная фаза
фаза колебаний
![xГрафик свободных колебаний период колебаний, [c]Общее решениеA – амплитуда колебаний, [м]k – круговая частота колебаний начальная фаза](/img/thumbs/46be018ac3f9fe4cbf4264d0df82800d-800x.jpg "Прямолинейные колебания точки xГрафик свободных колебаний период колебаний, [c]Общее решениеA – амплитуда колебаний, [м]k")
Слайд 14
Постоянные интегрирования
Подставим начальные условия
в общее решение
Получим
Найдем постоянные интегрирования
Слайд 15
Свойства свободных колебаний
1. Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от
начальных условий задачи
2. Частота и период колебаний не зависят от
начальных условий задачи и полностью определяются параметрами самой колебательной системы Если в задаче требуется определить амплитуду и период колебаний, то можно воспользоваться (8-9), не решая ДУ.
(8)
(9)
Слайд 16
Свободные колебания при наличии постоянной силы P
Рассматриваем прямолинейное движение точки
массой m под действием восстанавливающей силы F.
Силу тяжести учитываем.
-
начало отсчета x, в поло-жении равновесия груза- сила тяжести
статическая
деформация пружины
Условие равновесия
Восстанавливающая сила
Слайд 17
Уравнение свободных колебаний (P=const)
Общее решение
С учетом условия равновесия
Получим ДУ свободных
колебаний при наличии постоянной силы, аналогичное (3)
Постоянная сила, не изменяя
характер колебаний, смещает центр колебаний в сторону ее действия на величину статической деформации(10)
(11)
Слайд 18
Свободные затухающие колебания
Сила сопротивления
Силы:
Второй закон Ньютона
ДУ свободных затухающих колебаний
- начало
отсчета в положении равновесия груза
Слайд 19
ДУ свободных затухающих колебаний
1. Случай малого сопротивления среды
Общее решение уравнения
Выражение
для скорости
(12)
(13)
Слайд 20
Постоянные интегрирования
Используем начальные условия
Найдем постоянные интегрирования
частота колебаний
период колебаний
Слайд 21
График свободных затухающих колебаний
- экспоненциальный закон убывания амплитуды колебаний по
времени
Слайд 22
Декремент затухания
Выясним, как меняется амплитуда колебаний за один период
с учетом
получим
Размах
колебаний убывает по геометрической прогрессии
- декремент затухания
- логарифмический декремент
затуханияДекремент затухания показывает, во сколько раз
уменьшается амплитуда колебаний за один период.
(14)
Слайд 23
Свойства свободных затухающих колебаний
Основное влияние сопротивления среды (в случае b
на свободные колебания сказывается в уменьшении амплитуды колебаний по времени,
т.е. в их затухании.
Слайд 24
Свободные затухающие колебания
2. Случай большого сопротивления среды
Общее решение уравнения
- апериодическое
движение точки, не является типично колебательным, соответствует достаточно быстрому затуханию
по времени(15)
Слайд 25
Свободные затухающие колебания
3. Случай
Общее решение уравнения
движение точки апериодическое, соответствует
быстрому затуханию по времени
(16)
Слайд 27
Вынужденные колебания
(без учета сопротивления среды)
Силы:
Уравнение движения
- вынуждающая сила
-
амплитуда,p - частота
ДУ вынужденных колебаний (без учета сопротивления)
(17)
-начало отсчета в положении равновесия груза
Слайд 28
ДУ вынужденных колебаний
(без учета сопротивления среды)
(17)
Подставляя это решение
в (17), получим- частное решение полного уравнения
Уравнение неоднородное и его решение можно записать
общее решение однородного уравнения
Слайд 29
Для случая
Общее решение:
Это равенство должно выполнятся для любого t
Решение ДУ
вынужденных колебаний
(18)
Слайд 30
или
Вынужденные колебания (резонанс)
Получим
Подставим частное решение полного уравнения
в уравнение
Случай совпадения собственной
частота колебаний с частотой возмущающей силы называется резонансом.
- сдвиг
по фазе между вынужденными колебаниями и возмущающей силой при резонансе равент.е. максимальному значению вынуждающей силы соответствует положение равновесия и, наоборот, когда значение силы равно нулю, отклонение от положения статического равновесия максимальное
Слайд 31
Общее решение
График вынужденных колебаний при резонансе
При резонансе (без учета сопротивления
среды) происходит линейный неограниченный рост амплитуды по времени.
Слайд 32
Свойства вынужденных колебаний
(без учета сил сопротивления)
Вынужденные
колебания происходят с постоянной амплитудой, которая не зависит от начальных условий.Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы. То есть происходит “захват” частоты вынуждающей силой (приложенная сила “вынуждает” систему колебаться со своей частотой).
Фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы совпадают при k>p и сдвинуты на 90° при k
Слайд 33
Вынужденные колебания
при наличии сопротивления среды
- начало отсчета в положении
равновесия грузаУравнение движения
Введем обозначения
Силы:
Слайд 34
ДУ вынужденных колебаний
при наличии сопротивления
(19)
- общее решение полного уравнения
-
общее решение однородного уравнения b- фаза колебаний
Найдем , подставим частное решение в (19)
- частное решение полного уравнения
- постоянные
Слайд 35
Далее воспользуемся формулами из тригонометрии
В результате получим
Чтобы (20) выполнялось для
любого t, коэффициенты
при
и должны быть равны, следовательно(20)
Константы интегрирования
Слайд 36
Решение ДУ вынужденных колебаний
при
наличии сопротивлении среды
Общее решение
Собственные колебания
Вынужденные
колебания
Возмущающая сила все время поддерживает
колебательное движение точки, в результате чего она колеблется с постоянной амплитудой B(21)
Слайд 37
Частота, период и амплитуда вынужденных колебаний
В случае резонанса
амплитуда
Увеличение сопротивления среды
приводит при резонансе к уменьшению амплитуды колебаний (это свойство часто используется в технике)
Сопротивление среды не изменяет частоту и период вынужденных колебаний. Точка колеблется с частотой p возмущающей силы.
Слайд 38
График вынужденных колебаний
а) Собственные колебания
при наличии сопротивления
б) Вынуждающая сила
B - амплитуда
в) Вынужденные колебания
при наличии сопротивления
- время установления
Слайд 39
Коэффициент динамичности
Подставим новые обозначения
статическое перемещение точки
под действием постоянной силы
в выражение для амплитуды и начальной фазы
коэффициент динамичности показывает,во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний B
под действием возмущающей силы
больше статического перемещения
при действии постоянной силы
Слайд 40
Коэффициент динамичности
- соотношение частот
- характеризует сопротивление среды
Получим коэффициент динамичности
Важные
характеристики колебательной системы
Амплитудно - частотная характеристика (АЧХ)
Фазо - частотная
характеристика (ФЧХ)
Слайд 41
- коэффициент динамичности
- соотношение частот
- характеризует сопротивление среды
- резонанс
Амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ)
Слайд 42
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ)
- резонанс
- сдвиг фазы (между колебаниями и возмущающей
силой)
Слайд 43
Свойства вынужденных колебаний
1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных
условий задачи.
2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают.
3.
Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы.4. Даже при малой возмущающей силе можно получить интенсивные вынужденные колебания, если сопротивление мало, а частота p близка к k.
5. Даже при большой возмущающей силе можно сделать вынужденные колебания сколь угодно малыми, если частота p>>k.
Слайд 44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сложная колебательная система
- имеет набор собственных частот
Применение резонансов на
практике
- содержит много резонансов
- имеет набор возмущающих сил с частотами
Резонанс
“полезен” – “настройка” колебательной системы на резонанс.
Резонанс “вреден” – “отстройка” колебательной
системы от резонанса.
Слайд 45
Задача 1.
Замена нескольких пружин эквивалентной
a) Последовательное соединение пружин
В результате
получим
Статическое удлинение пружин 1 и 2
Статическое удлинение эквивалентной пружины
Слайд 46
Задача 1(продолжение).
б) Параллельное соединение пружин
В результате получим
Определяющие соотношения
Слайд 47
Задача 2.
Груз массой 3кг совершает затухающие колебания с периодом
T1=0,3c и декрементом затухания λ=0,5. Определить коэффициент жесткости пружины с
и коэффициент μ вязкого сопротивления. Во сколько нужно уменьшить массу груза, чтобы движение груза стало апериодическим?Решение
Решаем эти уравнения относительно b, k, c
Подставим числовые значения
Слайд 48
Задача 2 (продолжение)
Пусть новая
масса, тогда
Откуда находим
Следовательно
Наименьшая масса при которой движение будет апериодическим, находится
из условия
Слайд 49
Уточнение рекомендаций к решению задач для случая колебательного движения точки
Выбрать систему координат.
Ось x направлять в сторону удлинения пружины,
начало – в положении равновесия груза2. Изобразить все силы.
Силы: упругости пружины, сила тяжести, сила сопротивления среды, вынуждающая сила
3. Написать второй закон Ньютона, получить ДУ.
Получить ДУ в “стандартном” виде, правильно выразив через x.
4. Написать НУ.
Не ошибиться при нахождении
5. Решить ДУ с использованием НУ.
Взять готовое решение “стандартного” ДУ
Слайд 50Заключение
Свободные незатухающие колебания:
1. Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят
от начальных условий задачи
2. Частота и период колебаний не зависят
от начальных условий задачи и полностью определяются параметрами самой колебательной системы3. Постоянная сила, не изменяя характер колебаний, смещает центр колебаний в сторону ее действия на величину статической деформации
Основное влияние сопротивления среды на свободные колебания сказывается в уменьшении амплитуды колебаний по времени, т.е. в их затухании.
Свободные затухающие колебания:
Слайд 51Заключение (продолжение)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вынужденные колебания:
1. Амплитуда вынужденных колебаний не зависит
от начальных условий задачи.
2. Вынужденные колебания при наличии сопротивления
не затухают.3. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы.
Слайд 52Вопросы для самоконтроля
Как направлена и чему равна сила упругости пружины?
Какой
вид имеют ДУ свободных колебаний точки?
Чем определяется амплитуда и
начальная фаза свободных колебаний точки?От каких параметров зависят частота и период свободных колебаний точки?
Записать ДУ свободных затухающих колебаний точки? Привести вид его общего решения.
Привести график свободных и затухающих колебаний, а также апериодического движения точки.
Как определяют декремент затухающих колебаний и что он характеризует?
Каковы период и частота вынужденных колебаний?
Записать ДУ вынужденных колебаний.
