Работа, мощность, механическая энергия

постоянной силы

(над материальной точкой) на перемещении называется величина
. (1 а)
[А]=Н∙м ≡ Дж.
Раскрывая скалярное произведение, получим
, (1 б)
где – угол между силой и перемещением.

зависит от того, сколько вообще сил на нее действуют.

PS2. Если

рассматривать перемещение материальной точки как сумму последовательных перемещений ,

, (2)
то работа на перемещении представится также в виде суммы:

, (3)
где
(4)
– работа силы на i-м перемещении.
Таким образом, работа величина скалярная и обладает свойством аддитивности.

Если сила зависит от положения материальной точки ,то простое определение работы (1) теряет смысл.

записано через криволинейный интеграл вдоль кривой между

точками а и в.
. (5 )

Под знаком интеграла в (5) – сила, действующая на материальную точку в точке кривой с радиусом-вектором , – бесконечно малое перемещение материальной точки из точки за бесконечно малый промежуток времени – (см. рис. 3.1).

Отметим, что при из (5) получается выражение (1).


Средней за промежуток времени ( ) мощностью силы называется величина
, (6)

где А – работа любой силы за промежуток времени ( ).

совершаемая за единицу времени, [N]= Дж/с = Вт.

Используя выражение (7) и (1), можно получить
. (8)

Отсюда, в частности, видно, что сила, перпендикулярная скорости, имеет нулевую мощность и работы не совершает. Поэтому центростремительная сила работы не совершает. К ней относится и сила Лоренца.

– сумма действующих сил,
, (9)
то из определения (5) следует,

что работа силы должна вычисляться как сумма работ сил :
. (10)
Мощности сил также складываются:

. (11)

3.2. Кинетическая энергия системы. Теорема о кинетической энергии.

Кинетической энергией материальной точки называется величина

, (12)
где – масса МТ, – модуль скорости материальной точки; [k] = Дж.
Кинетической энергией механической системы (набор материальных точек ) называется величина
(13)
где – кинетическая энергия i-й материальной точки; i=1, 2,…, n.

промежуток времени и работой, действующих на нее сил.
Перепишем уравнение

движения МТ в виде
, (14)
где – сумма сил, действующих на МТ.
Умножим уравнение (14) на вектор скорости скалярно:
. (15)
Рассмотрим левую и правую части (15) отдельно.
Во-первых, отметим математический факт:
.
Отсюда следует, что изменение кинетической энергии МТ выражается так:
. (16)

Таким образом, левая часть (15) – это величина .
Правую же часть равенства можно записать в виде
, (17)
где – мощность силы (сумма мощностей всех сил, действующих на МТ).

любых сил, действующих на МТ, за промежуток времени

.
Проинтегрировав (18) по промежутку ( ), получаем
. (19)

Равенство (19) называют теоремой о кинетической энергии для материальной точки: изменение кинетической энергии МТ за некоторый промежуток времени равно сумме работ действующих на МТ сил.
Записав равенство (19) для каждой материальной точки, входящей в состав механической системы,
(20)
и просуммировав n равенств (20), получаем для системы:
, (21) т.е. изменение кинетической энергии механической системы (за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех сил, действующих на систему.

в некоторой области существует статическое силовое поле. На МТ в

этой области действует сила , зависящая от положения материальной точки.

Сила называется консервативной, если работа силы над материальной точкой при ее перемещении из точки а в точку в не зависит от формы траектории, соединяющей а и в, а определяется только начальным (а) и конечным (в) положениями материальной точки (см. рис. 3.3).

Математически это свойство записывается в виде

кривой из а в в и работа на той же

кривой при движении из в в а отличаются знаками,

. (23)

называется консервативной, если ее работа над материальной точкой на

любом замкнутом контуре равна нулю, т.е.
. (24)
Любой замкнутый контур отмечен кружком на интеграле.

Интеграл (24) называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру .

Интегрирование (24) в конечных пределах изменения консервативной силы позволяет ввести понятие изменения потенциальной энергии МТ


. (25)
Понятие (25) можно переписать в упрощенной форме
. (26)

Работа консервативных сил совершается только за счёт убыли потенциальной энергии.

в консервативных полях.
Равенство (27), представленное в форме

, (28)
используется при построении выражений для потенциальной энергии МТ в консервативных силовых полях.

В декартовых координатах:

. (29)

сила тяжести, сила упругости, квазиупругая сила, кулоновская сила.

Неконсервативные силы: все

виды сил трения.

Рассмотрим пример постоянной однородной консервативной силы и вычислим её потенциальную энергию.
Однородная постоянная сила консервативна, так как для любого замкнутого контура
. (30)
Положив
, (31)
убеждаемся в том, что равенство (30) удовлетворяется. Потенциальная энергия в (31) определяется так, что она обращается в нуль в начале системы отсчета.

Примеры постоянных однородных сил – , , – где – напряженность однородного электростатического поля, – напряженность однородного гравитационного. В табл. 3.1. помещены виды потенциальных энергий известных в механике консервативных сил.

потенциальной энергии.
Механической энергией системы называется сумма ее кинетической и потенциальной

энергий:
. (32)
Изменение механической энергии за некоторый промежуток времени:
. (33)
Закон сохранения механической энергии: если все силы, действующие в механической системе, консервативны, то механическая энергия системы сохраняется:
.

При наличии сил трения в системе механическая энергия убывает

.

Принцип минимума потенциальной энергии. Движение тела в консервативной механической системе происходит таким образом, что тело стремиться занять такое положение в пространстве, в котором его потенциальная энергия минимальна. (Пример)