Слайд 1РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПРЯМОМ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ.
Изгибом
называется такой простой вид деформации, при кото-ром в поперечном сечении
стержня возникают два внутренних усилия – изгибающий момент и поперечная сила, остальные внут-ренние усилия отсутствуют.
Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называются балками. В отличие от осевого растяжения-сжатия и кручения, из-гиб представляет собой такую деформацию, при которой проис-ходит искривление оси первоначально прямого бруса.
В строительных конструкциях часто встречаются балки, попе-речое сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.
Слайд 2 Пусть все внешние нагрузки, включая и опорные
реакции, лежат в одной плоскости, которую будем называть силовой плос-костью.
Если эта плоскость проходит через ось симмет-рии сечения, то и ось изогнутой балки также лежит в этой плоскости. Такой изгиб называется плоским.
Ось сим-
метрии
Ниже будем рассматривать только случай вертикального плоского изгиба, то есть будем считать, что поперечные сечения балок симметричны относительно вертикальной оси, а нагрузки лежат в вертикальной плоскости. Линия пересечения силовой
плоскости и плоскости поперечного се-
чения называется силовой линией.
Силовая
плоскость
Силовая
линия
Слайд 3 Различают два типа изгиба:
1). Если в поперечном сечении
балки возникает только изгибаю-щий момент, а поперечная сила отсутствует, то
такой изгиб назы-вается чистым.
m
m
Mx=m
Qy=0
Mx
Слайд 4
2). Если в поперечном сечении балки возникает и изгибающий мо-мент,
и поперечная сила, то такой изгиб называется поперечным.
Mx=F*z
Qy=-F
F
F
Z
Mx
Qy
Слайд 5Напряжения в поперечном сечении стержня
при чистом изгибе.
Изгибающий
момент является равнодействующей нормальных напряжений, то есть при чистом изгибе
в поперечном сечении возникают только нормальные напряжения.
Выясним сначала, как напряжения распределяются по попереч-ному сечению балки. Для этого рассмотрим результаты следую-щего эксперимента. Нанесем на боковую поверхность бруса сетку из взаимно перпендикулярных линий.
m
m
Приложим к его концам моменты m, действующие в плоскости симметрии бруса. Брус испытывает чистый изгиб.
Слайд 6 При приложении моментов брус изгибается, при этом линии,
па-раллельные оси балки, искривляются, удлиняясь вверху и укора-чиваясь внизу. Расстояние
же между ними не меняется. Поэтому при изгибе выполняется следующая гипотеза: «Продольные волокна не давят друг на друга».
Слайд 7 Линии, перпендикулярные оси балки, есть след на боковой
по-верхности поперечного сечения. Как показывает опыт, эти линии после деформации
остаются прямыми, а, значит, поперечные сечения остаются плоскими.
Таким образом, при чистом изгибе выполняется гипотеза плос-ких сечений.
Опишем теперь деформацию при чистом изгибе.
Слайд 8Z
dz
a
c
e
d’
a
c
e’
d
Для этого выде-лим из бруса се-чениями ac и ed элемент
шириной dz .
Сечения ac и ed останутся плоски-ми, но
наклонятся
друг к другу на угол dΘ.
Точку О– точку пересечения пря-мых ac и e’d’ –назовем центром кривизны.
О
dΘ
Слайд 9Y
Z
X
О
L
K
ρ
н.слой
Так как верхние волокна удли-няются, а нижние укорачи-ваются,
то обязательно суще-ствует слой LK, волокна кото-рого не изменяют свою
длину.
Этот слой называется
нейтральным.
Расстояние от этого слоя до т.О назовем радиусом кривиз-ны нейтрального слоя ρ.
Систему координат выберем так, что ее начало находится в т.L, оси Z и X лежат в нейт-ральном слое, а ось Y –вертикальна.
e’
d’
dz
Слайд 10c
e
a
d
Y
Z
X
О
L
K
m
n
n’
e’
d’
y
ρ
н.слой
Рассмотрим еще одно во-локно mn, лежащее на рас-стоянии
y от нейтрального слоя.
В результате деформации волокно
получит удлине-ние Δℓ=nn’.
Его относительная де-формация будет равна
Из чертежа видно, что ΔOLK подобен ΔKnn’, откуда следует:
(5.1)
dz
Слайд 11X
Получим теперь формулу для определения напряжений. Поскольку
выполняется гипотеза
о ненадавливании продольных волокон, то
можно считать, что эти волокна
испытывают только осевое растя-
жение-сжатие, при котором справедлив закон Гука.
(5.2)
Из этой формулы следует, что нормальные напряжения при чистом изгибе распределяются по сечению не равномерно, как при осевом растяжении-сжатии, а по линейному закону, причем они обращают-ся в ноль на нейтральном слое.
y
Нейтральный слой
Нейтральная линия
Линия пересечения
нейтрального слоя и
поперечного сечения
называется
нейтральной линией.
Слайд 12 Формула (5.2) неудобна для работы, так как в
общем случае ра-диус нейтрального слоя ρ неизвестен. Получим ее в
другом виде. Для этого выпишем из формул (1.1) те, в которые входит нормаль-ное напряжение σz.
N =
Mx =
My =
(*)
(**)
(***)
Подставим формулу (5.2) в формулу (**):
Mx =
Jx
Отсюда получаем
(5.3)
Слайд 13X
Подставим (5.3) в (5.2):
(5.4)
Из (5.4) следует, что наибольшие
по модулю напряжения возни-кают в точках сечения с наибольшей координатой
y=ymax.
(5.5)
Нейтральная линия
y
σmax
Слайд 14y
Нейтральная
линия
Из формулы (5.4) сле-дует, что величина напря-жений зависит
от коорди-наты y, то есть зависит от выбора системы коорди-нат.
Выясним сначала, как определить положение
N =
Sx
N =
так как при изгибе продольная сила N не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю стати-ческий момент Sx . Статический же момент обращается в нуль отно-
сительно центральной оси. Отсюда следует, что ось X, то есть ней-
тральная линия сечения обязательно проходит через центр тяжести.
нейтральной линии. Для этого возьмем формулу (*) и подставим в нее выражение (5.2):
X
C
Слайд 15Ось симметрии
Выясним теперь место-
положение оси Y. Для этого
возьмем формулу (***) и подставим в нее выражение (5.2):
Jxy
так
как при вертикальном плоском изгибе изгибающий момент My не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю центробежный момент инерции Jxy. Центробеж-ный же момент обращается в нуль относительно главных осей. Из-вестно, что если сечение имеет ось симметрии и одна из кординат-ных осей с ней совпадает, то эти оси будут главными. Отсюда следу-ет, что вертикальная ось Y должна совпадать с осью симметрии сечения.
X
C
My =
Слайд 16Напряжения в поперечном сечении стержня
при поперечном изгибе.
В
случае поперечного изгиба в сечении балки возникает не только изгибающий
момент, но и поперечная сила. Эта сила является рав-нодействующей касательных напряжений, то есть при поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают не только нормаль-ные , но и касательные напряжения.
Mx
Qy
σ
Исследуем сначала, меняется ли картина распределения нор-мальных напряжений при попе-речном изгибе по сравнению с изгибом чистым.
Слайд 17В соответствии с законом парности каса-тельных напряжений, если в поперечном
сечении балки возникают касательные на-пряжения, то точно такие же касательные
напряжения возникают и в продольном се-чении.
Y
Z
Первые обозначим через
так как они параллельны оси Y,
а вторые через
так как они параллельны оси Z.
Слайд 18 Напряжения
вызывают сдвиги продольных волокон, при -
чем эти
сдвиги неравномерны по высоте сечения.
Вследствие этих сдвигов нарушается
гипотеза плоских сечений, и плоские до деформации сечения слегка искривляются.
Чистый изгиб
Поперечный изгиб
Поперечный изгиб
Qy
Mx
Слайд 19 Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что величина нормальных
напряжений при этом хотя и меняется, но очень незначительно. Поэтому
влиянием сдвигов на закон рас-пределения нормальных напряжений пренебрегают и используют для их определения те же формулы (5.4), (5.5), что и при чистом изгибе.
Получим теперь формулу для определения касательных напря-жений.
Слайд 20Y
Z
e
a
X
d
c
c
e
a
d
Y
Z
σz
σz+dσz
Для этого опять рассмотрим элемент aced длиной dz,
предполагая
на этот раз, что балка испытывает поперечный изгиб.
Нормальные
напряжения в этом случае в сечениях ac и ed будут не-
одинаковы, но, поскольку эти сечения находятся бесконечно близко
друг к другу, отличаться напряжения также будут на бесконечно
малую величину dσz.
dz
Слайд 21Y
Z
e
a
X
d
c
m
n
m
n
c
e
a
d
Y
Z
σz
σz+dσz
Aотс
Выделим теперь из элемента aced элемент amne, проведя
продоль-
ное сечение mn.
Покажем действующие на его гранях касательные
напряжения
Будем при этом предполагать, что эти касательные на-
пряжения по всей ширине сечения, то есть вдоль оси X, распределе-
ны равномерно, а направление совпадают с направлением по-
перечной силы Qy, возникающей в сечении.
Часть поперечного сечения, лежащую выше проведенного сечения
mn, назовем отсеченной, а ее площадь обозначим через Аотс.
Слайд 22Y
Z
e
a
X
d
c
m
n
m
n
c
e
a
d
Y
Z
σz
σz+dσz
b
Aотс
dz
Обозначим ширину сечения mn через b.
Запишем условие равновесия отсеченной части.
Слайд 23Подставим сюда формулу (5.4).
Выразим отсюда
Подставляя сюда формулу (1.4):
и
учитывая
закон парности касательных напряжений, окончательно получим
Слайд 24(5.6)
Формула (5.6) называется формулой Журавского.
Здесь Qy – абсолютная величина поперечной
силы в том сечении,
где вычисляются касательные напряжения;
Jx – момент инерции этого сечения относительно нейтраль-
ной линии (оси X);
b – ширина сечения на уровне рассматриваемого
волокна;
-- статический момент относительно нейтральной линии (оси X) отсеченной части сечения, лежащей выше (или ниже) уровня рассматриваемого волокна.
Формула (5.6) дает только величину касательных напряжений. На-
правления их совпадают с направлением поперечной силы Qy.
Распределение касательных напряжений по высоте сечения су-
щественно зависит от формы сечения.
Слайд 25Y
X
Рассмотрим несколько частных случаев. Будем предполагать, что
поперечная сила в
рассматриваемых сечениях направлена вверх.
1. Сечение прямоугольной формы.
y
b
h
C
Cотс
yСотс
h/2-y
M
Aотс
Рассмотрим прямоугольное
сече-
ние размерами h*b, проведем глав-
ную центральную систему коорди-
нат CXY.
Найдем величину касательных
напряжений в произвольной т.М с
координатами (x,y).
Сначала проведем через эту точку
линию, параллельную оси X. Назо-
вем отсеченной часть сечения, лежа-
щую, например, выше этой линии.
Обозначим через Сотс центр тя-
жести отсеченной части и найдем
его координату.
Слайд 26Y
X
y
b
h
C
Cотс
yСотс
h/2-y
M
Aотс
Найдем площадь отсеченной части.
Найдем статический момент отсе-
ченной части.
Момент
инерции прямоугольного сечения
Слайд 27Подставляем все найденные величины в формулу Журавского:
Это уравнение
параболы. Построим ее график. Для этого найдем значения напряжения в
нескольких точках.
Y
X
h
C
1
2
3
В т.1 y=h/2;
В т.3 y=-h/2;
В т.2 y=0;
Слайд 292. Сечение в форме швеллера.
t
d
1
Рассмотрим сечение в форме
швел-
лера. Для простоты рассуждений бу-дем считать элементы швеллера пря-моугольниками. Проведем
главную центральную систему координат CXY.
Найдем величину касательных на-пряжений в нескольких характерных точках швеллера:
т.1, лежащая на верхнем волокне:
, так как все сечение лежит
ниже этого волокна и
X
Y
h
b
C
Слайд 301
h
b
t
d
2
Y
X
т.2, лежащая на полке чуть выше
уровня сопряжения полки и стенки.
Отсеченной частью в данном слу-чае будет прямоугольник разме-рами b*t; Аотс=b*t;
координата
центра тяжести yотс этого прямоугольника равна h/2-t/2.
Можно показать, что между точка-ми 1 и 2 касательное напряжение будет меняться по закону квадрат-ной параболы.
yотс
Тогда
C
Слайд 31 Рассмотрим теперь т.3, лежащую на стенке чуть ниже
уровня сопряжения полки и стенки.
Отсеченной частью в данном случае
будет тот же прямоугольник, что и в предыдущем случае, то есть стати-ческий момент меняться не будет. Изменится только ширина сечения на уровне отсеченной части .Тогда
Так как стенка швеллера тоже явля-ется прямоугольником, то и вдоль
3
нее касательное напряжение тоже будет меняться по закону квад-ратной параболы. Поскольку b>>d, то и
Эпюра касательных напряжений на уровне сопряжения полки и
стенки делает резкий скачок.
1
h
b
t
d
2
Y
X
C
Слайд 32Отметим, что обычно ввиду малости касательные напряжения
Максимальные
касательные напряжения возникают на нейтраль-ной линии (т.4) и определяются по
формуле:
на полках швеллера не определяются.
( получить
самостоятельно).
4
3
1
2
Строим эпюру
Слайд 33 Однако прокатные профили и по-добные им так называмые
тонко-стенные стержни имеют еще одну особенность.
Рассмотрим элемент сечения
pmns длиной dz такой, что его грань sn совпадает с боковой поверхностью балки.
Очевидно, что в сечениях ps и mn возникают нормальные напряжения, причем они будут отличаться на бес-конечно малую величину.
Из чертежа видно, что для того, что-бы элемент pmns был уравновешен, необходимо, чтобы в сечении pn возникали напряжения, параллель-ные оси Z и направленные так, как показано на рисунке.
Это будут касательные напря-жения
dz
p
m
n
s
σz
σz+dσz
Z
Y
X
Слайд 34dz
p
m
n
s
σz
σz+dσz
Z
Y
Обозначим через Аотс площадь сечения ps.
Запишем условие равновесия элемента pmns.
t
Повторяя
предыдущие выкладки, получим формулу, аналогичную формуле Журавского.
(5.7)
Согласно закону парности касательных
напряжений, в поперечном
сечении балки будут возникать напряжения
которые
можно вычислить по той же формуле (5.7).
Аотс
X
Слайд 35t
Y
Таким образом, на полках швеллера
кроме напряжений
возникают и на-пряжения
Посмотрим, как меняются эти
напря-жения вдоль полки швеллера. Для это-го определим их в произвольной точке К (x,y). Обозначим через r расстояние от т.К до стенки.
Проведем через точку К линию,пара-ллельную оси Y и назовем часть пол-ки, лежащую левее линии, отсеченной.
Найдем сначала статический момент отсеченной части.
Подставим это в формулу (5.7)
это линейная функция.
К
r
b-r
CK
yCK
X
h
b
C
d
Слайд 36Найдем значения этого напряжения в двух точках.
В т.5 r=d;
В
т.6 r=b;
На нижней полке значения напряжений будут отличаться только
знаком. По полученным значениям строим график
вдоль полок швеллера.
К
r
b-r
h
b
5
6
d
Слайд 37 Покажем окончательный вид эпюр касательных напряжений на полках
и стенке швеллера. Стрелочками указаны их направления, которые опреде-
ляются направлением
попереч-
ной силы.
Можно показать, что касатель-ные напряжения равномерно распределены по толщине сече-ния
Распределение касательных напряжений в швеллере и дру-гих аналогичных тонкостенных профилях, имеет одну интерес-ную особенность.
Слайд 38 Найдем равнодействующие касательных напряжений T1 и T2. Если
пренебречь на полках, то
Равнодействующую
найдем, вычислив
площадь со-
ответствующей эпюры и умно-
жив ее на толщину полки:
Покажем эти силы на чертеже.
b
d
Слайд 39T2
T1
T1
Из рисунка видно, что силы Т1 и Т2
стре-мятся повернуть сечение вокруг центра тяжести т.С в одну и
ту же сторону, то есть в сечении возникает дополнительное внутреннее усилие – крутящий момент Мz. За счет этого усилия в сечении возникают и дополнительные напряжения, что небла-гоприятно сказывается на прочности бал-ки. Чтобы это предотвратить, необходимо прикладывать внешнюю нагрузку так, что-бы она уравновешивалась внутренними усилиями без появления кручения. Обоз-начим через О соответствующую точку.
Точка О называется центром изгиба.
С
h/2
е
O
Тогда
Слайд 40С
O
F
Таким образом, чтобы швеллер не испытывал дополнительно воз-
никающего
кручения, надо добиваться того, чтобы линия действия
внешней нагрузки (силовая линия)
проходила не через центр тяжести
т.С, а через центр изгиба т.О.
Слайд 413. Сечение в форме двутавра.
h
b
t
d
Y
X
Распределение касательных
напряжений в двутавре
аналогично распределению
их в
швеллере. При этом
( получить самостоятельно).
Слайд 43Y
X
Z
F
X
Z
Исследование напряженного состояния в точке
балки.
Рассмотрим кон-сольную балку пря-моугольного
попе-
речного сечения, на-груженную, напри-мер, сосредоточен-ной силой.
Выберем в
этом сечении произволь-ную точку.
Проведем в этой балке произвольное сечение и отбросим часть балки, лежа-щую, например, справа от сечения.
нейтральный
слой
Слайд 44Y
X
Z
Вырежем вокруг этой точки элементарный параллелепипед.
Изобразим этот параллелепипед в
увеличенном виде, нагрузим его
грани напряжениями, которые могут возникать в самом
общем слу-
чае и определим, какие из них будут отсутствовать в случае прямого
плоского изгиба. Для простоты изображения покажем напряжения
только на трех видимых гранях параллелепипеда.
Слайд 451). Передняя грань параллелепипеда совпадает с боковой поверхностью балки, свободной
от нагрузки, и по-этому напряжения на этой грани от-сутствуют
Y
X
Z
2). В
силу закона парности касательных напряжений
3). Нормальные напряжения на верхней грани параллелепипеда
отсутствуют в силу гипотезы о ненадавливании продольных воло-
кон друг на друга, то есть
Слайд 46 Таким образом, у элементарного параллелепипеда имеется толь-ко одна пара
свободных от напряжений площадок, то есть имеет место плоское напряженное
состояние.
Главные напряжения найдем по формуле (3.4):
(5.8)
главные направления по формуле (3.5):
(5.9)
Слайд 47Y
Z
F
Выше было показано, что в поперечном сечении балки
возникают
нормальное и касательное напряжения, определяемые по форму-
лам (5.4) и (5.6)
соответственно. Эпюры этих напряжений представ-
лены на рисунке.
Слайд 48К1
К1
К1
Согласно эпюрам, в т.К1
В силу закона парности ка-
ное состояние.
Из (5.8) получим
Рассмотрим т. К1 и т.К2, лежащие соответственно на
верхнем и ниж-
нем продольных волокнах балки.
сательных напряжений
Аналогично в т. К2
Имеем линейное напряжен-
К2
К2
К2
Слайд 49Согласно эпюрам, в т.М
В силу закона парности
Рассмотрим т.М, лежащую
в нейтральном слое.
М
М
М
касательных напряжений
Из (5.8) получим
Таким образом,
на гра-
нях элемента в т.М возникают только касательные напряжения. Та-
кое напряженное состояние называется чистым сдвигом.
Слайд 50 Таким образом, в т. М главные площадки расположены
под углом
450 и -450 к поперечному сечению балки.
Из (5.9) получим
Слайд 51Определяя аналогич-ным образом направ-ления главных напря-
жений в других точках балки,
мы можем изо-бразить так называе-мые главные траек-тории.
Так
называются линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направ-лением главного на-пряжения (σ1 или σ3).
Траектории
Траектории
Слайд 52 По траектории можно судить о том, где и в
каком направлении могут появиться тре-щины, если материал конструкции плохо ра-ботает
на растяжение. При армировании же-лезобетонных балок арматуру целесооб-разно располагать в зонах и, по возмож-ности, по направле-нию растягивающих напряжений.
Слайд 53Расчет на прочность при изгибе.
1. Расчет по методу предельных состояний.
В качестве опасного сечения при расчете на изгиб выбирают
сече-ние, в котором достигает наибольшего значения изгибающий мо-мент. Изобразим это сечение и эпюры возникающих в нем напря-жений.
Нейтральная
линия
Опасные
точки
Опасными точками такого сечения являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии, так как в этих точках возникают
наибольшие нормальные напряжения.
Слайд 54Нейтральная
линия
Опасные
точки
В этих точках, как было показано выше, возникает
линейное на-
пряженное состояние, поэтому по любой теории прочности условие
прочности
записывается в виде:
Если балка выполнена из хрупкого материала, то записываются
два условия прочности:
Слайд 55В опасных точках сечения балки возникает линейное напряженное
состояние; во всех
остальных – плоское. В частности, в точках, ле-
жащих на нейтральной
линии
Тогда, используя, например, четвертую теорию прочности, получим
Отсюда
где Rср– это расчетное сопротивление на срез;
Слайд 56Кроме того, условие прочности по касательным напряжениям важ-
но проверять в
следующих случаях:
1) если балка короткая;
2) если она нагружена большими сосредоточенными силами,
приложенными на малых расстояниях от опор. В таких бал-
ках поперечные силы могут иметь значительную величину,
в то время, как изгибающие моменты оказываются сравни-
тельно небольшими;
3) если балка деревянная. Для деревянных балок расчет на
прочность по касательным напряжениям может иметь реша-
ющее значение, так как дерево плохо сопротивляется ска-
лыванию вдоль волокон.
Условие прочности в точках, лежащих на нейтральной линии (ус-
ловие прочности по касательным напряжениям), проверяют, если
поперечная сила достигает наибольшего значения в опасном сече-нии балки.
Отметим, что точно также будет записываться условие прочности
во всех случаях состояния чистого сдвига.
Слайд 57Нейтральная
линия
В тонкостенных стержнях могут быть точки, в которых
и нормаль-
ные, и касательные напряжения одновременно достигают больших
значений (например, точки
стенки швеллера, лежащие на линии со-
пряжения полки и стенки).
В этом случае при расчете на прочность также используются тео-
рии прочности (3.8).
Слайд 582. Расчет по методу разрушающих нагрузок.
Рассмотрим расчет балки
прямоугольного поперечного сечения,
выполненной из пластического материала.
X
Y
1)
b
h
Сначала при
небольших значениях внешней нагрузки балка рабо-
тает в пределах упругой зоны.
В ней возникают напряжения, которые можно определить по фор-
муле (5.5) (рис.1):
Слайд 59X
Y
1)
2)
3)
4)
b
h
Затем, при увеличении внешней нагрузки в наиболее напряженных
крайних
точках сечения напряжения достигнут предела текучести σт
(рис.2).
При изучении
дальнейшего поведения материала будем пользо-
ваться диаграммой Прандтля, согласно которой напряжения, дос-
тигнув предела текучести, уже не меняют своей величины, то есть
при увеличении нагрузки пластическая зона постепенно проникает
вглубь сечения; упругая часть сечения сокращается (рис.3).
Можно условно считать, что в пределе она пропадает совсем; во
всех точках сечения наступает текучесть (рис.4), то есть деформации
будут нарастать при постоянной нагрузке.
Слайд 60X
Y
4)
b
h
Говорят, что в опасном сечении балки появляется так
называемый
пластический шарнир. После этого балка полностью исчерпывает
свою несущую способность и
начинает складываться, как механизм.
Найдем изгибающий момент Мxраз, соответствующей этому состоя-
нию бруса. Из формулы (1.1)
Mxраз =
Mxраз =
По формуле (5.5) найдем наибольший изгибающий момент по ме-
тоду предельных состояний:
А1
А1
Слайд 61 Сравним полученные по двум разным методам значения моментов:
Для круга это отношение равно 1,7; для двутавра –
1,15.
Таким образом, мы показали, что метод разрушающих нагрузок
и при изгибе, как и при осевом растяжении-сжатии, позволяет
вскрывать дополнительные резервы конструкции.
Слайд 62Подбор рационального сечения балки.
1. Пластический материал.
Подбор сечения балки
осуществляется с помощью условия
прочности:
При подборе сечения следует
стремиться к тому, чтобы подо-бранное сечение было возможно более рациональным, то есть таким, для которого отношение
было возможно большим. Это означает, что при минимальной пло-
щади, то есть при минимальных затратах материала, надо стремить-
ся получить как можно больший момент сопротивления, то есть по-
лучить наибольшую прочность балки.
Слайд 63 Так как по определению
то Wx будет тем больше,
чем больше Jx. По определению
то есть Jx, в свою очередь,
будет тем больше, чем дальше рас-
полагаются от нейтральной линии частицы площади сечения.
Поясним это на следующем примере. Рассмотрим два сечения,
составленных из одних и тех же элементов: два тавровых и восемь
прямоугольных.
а
а
2а
а
2а
Слайд 646а
Найдем величину β для этого сечения.
Первое сечение –
прямоугольное.
Слайд 65Второе сечение – типа двутаврового.
x
x1
x2
C
y
Найдем сначала момент инерции этого сечения
относительно оси X:
Момент сопротивления будет равен
а
2,5а
2а
13а
Слайд 66 Площадь этого сечения такая же, как и прямоугольного,
поскольку
оно составлено из тех же элементов, А=30а2. Тогда
Таким
образом, мы получили, что значение β для двутаврого сече-
ния значительно больше, чем для прямоугольного, то есть двутав-
ровое сечение более рационально, чем прямоугольное.
Этот же вывод можно получить и из других соображений. Изобра-
зим прямоугольное сечение и покажем рядом с ним эпюру нормаль-
ных напряжений.
Слайд 67 Из эпюры нормальных напряжений следует, что наибольшие но-
рмальные
напряжения возникают в крайних точках сечения;
в области нейтральной линии
материал почти не работает.
Поэтому будет рационально его из этой области изъять и распо-
ложить в наиболее напряженной зоне.
В результате таких манипуляций и получится сечение, напоми-
нающее двутавровое.
нейтральная
линия
Слайд 682. Хрупкий материал.
Такие материалы хорошо работают на сжатие и
значительно хуже—
на растяжение. Поэтому целесообразно, чтобы наибольшие растя-
гивающие напряжения в
таких балках были как можно меньше. Это-
го можно добиться в балках с поперечными сечениями, несим-
метричными относительно нейтральной линии. Рассмотрим опять
два сечения, составленных из одинаковых элементов : прямоуголь-
ное и тавровое. Предположим, что в балке растягиваются нижние
волокна.
В силу симметрии прямоугольного сечения наибольшие растяги-вающие и сжимающие напряжения в этом сечении будут одинаковы.
Попробуем сконструировать новое сечение, перенося материал из менее опасной зоны сжатия в более опасную зону растяжения.
Слайд 69нейтральная
линия
C
y
В итоге получим тавровое сечение, несимметричное относительно
нейтральной
линии. Центр тяжести этого сечения сместится по срав-
нению с прямоугольным
вниз, вместе с ним сместится и нейтраль-
ная линия, а, значит, изменится и эпюра напряжений.
Из эпюры видно, что в результате этого значительно уменьшатся
опасные для хрупкого материала растягивающие напряжения. Сле-
довательно, второе сечение будет более рационально, чем первое.
Слайд 70Понятие о расчете неоднородных балок
В строительстве часто используются
балки, составленные из раз-
ных материалов. Например, железобетонные балки, или так
называ-
емые сталежелезобетонные балки, где в сжатой зоне располагают
железобетонную плиту, хорошо работающую на сжатие, а в нижней
растянутой зоне – стальные балки.
железобетон
сталь
При хорошем соединении частей сечения можно считать, что оно
представляет собой монолитное сечение. Тогда при расчете такой
балки будут справедливы все основные формулы, но с поправкой
на неоднородность сечения.
Слайд 71 Эту поправку внесем аналогично тому, как это было
сделано при
осевом растяжении-сжатии:
1) во всех основных
формулах изгиба заменим обычные геомет-
рические характеристики на приведенные:
где
-- коэффициент приведения i-го материала к основ-
ному (первому) материалу;
2) введем этот коэффициент во все основные формулы изгиба:
и т.д.
Слайд 72 Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении сталежелезобетонной
балки, входящей в состав путепровода, от временной нагрузки q=27 кН/м.
Двутавр
№45
Пример.
сталежелезобетонная балка
Поперечное сечение балки состоит из железобетонной части (при
расчете арматуру учитывать не будем) – прямоугольник размером
120х12см и стальной– двутавр №45.
120см
12см
Слайд 73q=27кн/м
ℓ=8м
Будем считать, что балка
длиной 8м шарнирно оперта
по краям
и загружена равно-
мерно распределенной на-
грузкой интенсивностью
q=27 кн/м.
Решение.
Слайд 74Qy
q=27кн/м
ℓ=8м
Найдем реакции опор и по-
строим эпюры внутренних
усилий Qy и Mx.
Опасным будет сечение в
середине балки, Мmax=216кнм.
Рассмотрим это сечение.
За основной материал возьмем
бетон; Е1=2*104МПа;
другой материал –
сталь; Е=2*105МПа.
Слайд 75Y
120см
12см
45см
C1
C2
X0
O
Найдем положение цен-
тра тяжести сечения отно-сительно произвольной системы
координат OX0Y.
Выпишем координаты центров тяжести прямо-угольника и
двутавра отно-сительно системы OX0Y и площади этих фигур:
т.С1 (0,y1=51); A1=1440;
т.С2 (0,y2=22,5); A2=84,7.
Здесь и далее расчеты ве-дутся в сантиметрах.Найдем приведенную площадь:
Слайд 76X
Y
120см
12см
45см
C
C1
C2
X0
O
Координату центра тя-жести найдем по форму-ле:
Покажем
точку С -- центр тяжести – на чертеже.
Так как ось Y совпадает с осью симметрии фигуры, то проведенные
через точку С оси X и Y будут главными центральными осями
сечения.
yc=40,5см
Слайд 77X
X1
X2
Y
120см
12см
45см
C
C1
C2
40,5см
Найдем приведенный
момент инерции:
а1
а2
Слайд 78X
Y
12см
45см
C
40,5см
Определим напряжения
по формуле:
Значения y здесь подставляем в мет-
рах.
Найдем напряжения в нескольких
1) В бетоне --
1
2
точках, учитывая, что, как
следует из эпюры Mx, выше оси x лежит
зона сжатия, ниже – растяжения.
y1
y2
Слайд 79Y
45см
C
y3=40,5см
1
2
По найденным значениям строим эпюру напряжений.
Из эпюры видно, что вся
бетонная часть балки лежит в сжатой зоне,
а в месте сопряжения
двух разных материалов на эпюре возникает
скачок.
5
1,4
14
120
,МПа
y2
3
2) В стали --
