Разделы презентаций


РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПРЯМОМ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ. Изгибом называется такой презентация, доклад

Содержание

Пусть все внешние нагрузки, включая и опорные реакции, лежат в одной плоскости, которую будем называть силовой плос-костью. Если эта плоскость проходит через ось симмет-рии сечения, то и

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПРЯМОМ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ.
Изгибом

называется такой простой вид деформации, при кото-ром в поперечном сечении

стержня возникают два внутренних усилия – изгибающий момент и поперечная сила, остальные внут-ренние усилия отсутствуют.
Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называются балками. В отличие от осевого растяжения-сжатия и кручения, из-гиб представляет собой такую деформацию, при которой проис-ходит искривление оси первоначально прямого бруса.

В строительных конструкциях часто встречаются балки, попе-речое сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПРЯМОМ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ.  Изгибом называется такой простой вид деформации, при кото-ром в

Слайд 2 Пусть все внешние нагрузки, включая и опорные

реакции, лежат в одной плоскости, которую будем называть силовой плос-костью.

Если эта плоскость проходит через ось симмет-рии сечения, то и ось изогнутой балки также лежит в этой плоскости. Такой изгиб называется плоским.



Ось сим-
метрии

Ниже будем рассматривать только случай вертикального плоского изгиба, то есть будем считать, что поперечные сечения балок симметричны относительно вертикальной оси, а нагрузки лежат в вертикальной плоскости. Линия пересечения силовой
плоскости и плоскости поперечного се-
чения называется силовой линией.

Силовая
плоскость

Силовая
линия

Пусть все внешние нагрузки, включая и опорные реакции, лежат в одной плоскости, которую будем

Слайд 3 Различают два типа изгиба:
1). Если в поперечном сечении

балки возникает только изгибаю-щий момент, а поперечная сила отсутствует, то

такой изгиб назы-вается чистым.

m

m

Mx=m

Qy=0

Mx

Различают два типа изгиба:1). Если в поперечном сечении балки возникает только изгибаю-щий момент, а поперечная

Слайд 4
2). Если в поперечном сечении балки возникает и изгибающий мо-мент,

и поперечная сила, то такой изгиб называется поперечным.
Mx=F*z
Qy=-F
F
F
Z
Mx
Qy

2). Если в поперечном сечении балки возникает и изгибающий мо-мент, и поперечная сила, то такой изгиб называется

Слайд 5Напряжения в поперечном сечении стержня
при чистом изгибе.
Изгибающий

момент является равнодействующей нормальных напряжений, то есть при чистом изгибе

в поперечном сечении возникают только нормальные напряжения.
Выясним сначала, как напряжения распределяются по попереч-ному сечению балки. Для этого рассмотрим результаты следую-щего эксперимента. Нанесем на боковую поверхность бруса сетку из взаимно перпендикулярных линий.

m

m

Приложим к его концам моменты m, действующие в плоскости симметрии бруса. Брус испытывает чистый изгиб.

Напряжения в поперечном сечении стержня при чистом изгибе.  Изгибающий момент является равнодействующей нормальных напряжений, то есть

Слайд 6 При приложении моментов брус изгибается, при этом линии,

па-раллельные оси балки, искривляются, удлиняясь вверху и укора-чиваясь внизу. Расстояние

же между ними не меняется. Поэтому при изгибе выполняется следующая гипотеза: «Продольные волокна не давят друг на друга».

При приложении моментов брус изгибается, при этом линии, па-раллельные оси балки, искривляются, удлиняясь вверху и

Слайд 7 Линии, перпендикулярные оси балки, есть след на боковой

по-верхности поперечного сечения. Как показывает опыт, эти линии после деформации

остаются прямыми, а, значит, поперечные сечения остаются плоскими.
Таким образом, при чистом изгибе выполняется гипотеза плос-ких сечений.
Опишем теперь деформацию при чистом изгибе.

Линии, перпендикулярные оси балки, есть след на боковой по-верхности поперечного сечения. Как показывает опыт, эти

Слайд 8Z
dz
a
c
e
d’
a
c
e’
d
Для этого выде-лим из бруса се-чениями ac и ed элемент

шириной dz .
Сечения ac и ed останутся плоски-ми, но

наклонятся
друг к другу на угол dΘ.
Точку О– точку пересечения пря-мых ac и e’d’ –назовем центром кривизны.

О


Zdzaced’ace’dДля этого выде-лим из бруса се-чениями ac и ed элемент шириной dz . Сечения ac и ed

Слайд 9Y
Z
X
О
L
K
ρ
н.слой
Так как верхние волокна удли-няются, а нижние укорачи-ваются,

то обязательно суще-ствует слой LK, волокна кото-рого не изменяют свою

длину.
Этот слой называется
нейтральным.
Расстояние от этого слоя до т.О назовем радиусом кривиз-ны нейтрального слоя ρ.
Систему координат выберем так, что ее начало находится в т.L, оси Z и X лежат в нейт-ральном слое, а ось Y –вертикальна.

e’

d’

dz

YZXОLKρн.слой  Так как верхние волокна удли-няются, а нижние укорачи-ваются, то обязательно суще-ствует слой LK, волокна кото-рого

Слайд 10c
e
a
d
Y
Z
X
О
L
K
m
n
n’
e’
d’
y
ρ
н.слой
Рассмотрим еще одно во-локно mn, лежащее на рас-стоянии

y от нейтрального слоя.
В результате деформации волокно

получит удлине-ние Δℓ=nn’.
Его относительная де-формация будет равна

Из чертежа видно, что ΔOLK подобен ΔKnn’, откуда следует:

(5.1)

dz

ceadYZXОLKmnn’e’d’yρн.слой  Рассмотрим еще одно во-локно mn, лежащее на рас-стоянии y от нейтрального слоя.  В результате

Слайд 11X
Получим теперь формулу для определения напряжений. Поскольку
выполняется гипотеза

о ненадавливании продольных волокон, то
можно считать, что эти волокна

испытывают только осевое растя-
жение-сжатие, при котором справедлив закон Гука.

(5.2)

Из этой формулы следует, что нормальные напряжения при чистом изгибе распределяются по сечению не равномерно, как при осевом растяжении-сжатии, а по линейному закону, причем они обращают-ся в ноль на нейтральном слое.

y

Нейтральный слой

Нейтральная линия

Линия пересечения
нейтрального слоя и
поперечного сечения
называется
нейтральной линией.

X  Получим теперь формулу для определения напряжений. Посколькувыполняется гипотеза о ненадавливании продольных волокон, то можно считать,

Слайд 12 Формула (5.2) неудобна для работы, так как в

общем случае ра-диус нейтрального слоя ρ неизвестен. Получим ее в

другом виде. Для этого выпишем из формул (1.1) те, в которые входит нормаль-ное напряжение σz.

N =

Mx =

My =

(*)

(**)

(***)

Подставим формулу (5.2) в формулу (**):

Mx =

Jx

Отсюда получаем

(5.3)

Формула (5.2) неудобна для работы, так как в общем случае ра-диус нейтрального слоя ρ неизвестен.

Слайд 13X
Подставим (5.3) в (5.2):
(5.4)
Из (5.4) следует, что наибольшие

по модулю напряжения возни-кают в точках сечения с наибольшей координатой

y=ymax.

(5.5)

Нейтральная линия

y

σmax

XПодставим (5.3) в (5.2):(5.4)  Из (5.4) следует, что наибольшие по модулю напряжения возни-кают в точках сечения

Слайд 14y
Нейтральная
линия
Из формулы (5.4) сле-дует, что величина напря-жений зависит

от коорди-наты y, то есть зависит от выбора системы коорди-нат.

Выясним сначала, как определить положение


N =

Sx

N =

так как при изгибе продольная сила N не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю стати-ческий момент Sx . Статический же момент обращается в нуль отно-
сительно центральной оси. Отсюда следует, что ось X, то есть ней-
тральная линия сечения обязательно проходит через центр тяжести.

нейтральной линии. Для этого возьмем формулу (*) и подставим в нее выражение (5.2):

X

C

yНейтральнаялиния  Из формулы (5.4) сле-дует, что величина напря-жений зависит от коорди-наты y, то есть зависит от

Слайд 15Ось симметрии
Выясним теперь место-
положение оси Y. Для этого

возьмем формулу (***) и подставим в нее выражение (5.2):



Jxy
так

как при вертикальном плоском изгибе изгибающий момент My не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю центробежный момент инерции Jxy. Центробеж-ный же момент обращается в нуль относительно главных осей. Из-вестно, что если сечение имеет ось симметрии и одна из кординат-ных осей с ней совпадает, то эти оси будут главными. Отсюда следу-ет, что вертикальная ось Y должна совпадать с осью симметрии сечения.

X

C

My =

Ось симметрии  Выясним теперь место-положение оси Y. Для этого возьмем формулу (***) и подставим в нее

Слайд 16Напряжения в поперечном сечении стержня
при поперечном изгибе.
В

случае поперечного изгиба в сечении балки возникает не только изгибающий

момент, но и поперечная сила. Эта сила является рав-нодействующей касательных напряжений, то есть при поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают не только нормаль-ные , но и касательные напряжения.

Mx

Qy

σ

Исследуем сначала, меняется ли картина распределения нор-мальных напряжений при попе-речном изгибе по сравнению с изгибом чистым.

Напряжения в поперечном сечении стержня при поперечном изгибе.  В случае поперечного изгиба в сечении балки возникает

Слайд 17В соответствии с законом парности каса-тельных напряжений, если в поперечном

сечении балки возникают касательные на-пряжения, то точно такие же касательные

напряжения возникают и в продольном се-чении.

Y

Z

Первые обозначим через

так как они параллельны оси Y,

а вторые через

так как они параллельны оси Z.

В соответствии с законом парности каса-тельных напряжений, если в поперечном сечении балки возникают касательные на-пряжения, то точно

Слайд 18 Напряжения
вызывают сдвиги продольных волокон, при -

чем эти

сдвиги неравномерны по высоте сечения.
Вследствие этих сдвигов нарушается

гипотеза плоских сечений, и плоские до деформации сечения слегка искривляются.

Чистый изгиб

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Qy

Mx

Напряжения вызывают сдвиги продольных волокон, при -чем эти сдвиги неравномерны по высоте сечения.  Вследствие

Слайд 19 Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что величина нормальных

напряжений при этом хотя и меняется, но очень незначительно. Поэтому

влиянием сдвигов на закон рас-пределения нормальных напряжений пренебрегают и используют для их определения те же формулы (5.4), (5.5), что и при чистом изгибе.
Получим теперь формулу для определения касательных напря-жений.
Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что величина нормальных напряжений при этом хотя и меняется, но

Слайд 20Y
Z
e
a
X
d
c
c
e
a
d
Y
Z
σz
σz+dσz
Для этого опять рассмотрим элемент aced длиной dz,

предполагая
на этот раз, что балка испытывает поперечный изгиб.
Нормальные

напряжения в этом случае в сечениях ac и ed будут не-
одинаковы, но, поскольку эти сечения находятся бесконечно близко
друг к другу, отличаться напряжения также будут на бесконечно
малую величину dσz.

dz

YZeaXdcceadYZσzσz+dσz  Для этого опять рассмотрим элемент aced длиной dz, предполагаяна этот раз, что балка испытывает поперечный

Слайд 21Y
Z
e
a
X
d
c
m
n
m
n
c
e
a
d
Y
Z
σz
σz+dσz
Aотс
Выделим теперь из элемента aced элемент amne, проведя

продоль-
ное сечение mn.
Покажем действующие на его гранях касательные

напряжения

Будем при этом предполагать, что эти касательные на-

пряжения по всей ширине сечения, то есть вдоль оси X, распределе-
ны равномерно, а направление совпадают с направлением по-
перечной силы Qy, возникающей в сечении.
Часть поперечного сечения, лежащую выше проведенного сечения
mn, назовем отсеченной, а ее площадь обозначим через Аотс.

YZeaXdcmnmnceadYZσzσz+dσzAотс  Выделим теперь из элемента aced элемент amne, проведя продоль-ное сечение mn.  Покажем действующие на

Слайд 22Y
Z
e
a
X
d
c
m
n
m
n
c
e
a
d
Y
Z
σz
σz+dσz
b
Aотс
dz
Обозначим ширину сечения mn через b.
Запишем условие равновесия отсеченной части.

YZeaXdcmnmnceadYZσzσz+dσzbAотсdzОбозначим ширину сечения mn через b.Запишем условие равновесия отсеченной части.

Слайд 23Подставим сюда формулу (5.4).
Выразим отсюда
Подставляя сюда формулу (1.4):
и

учитывая
закон парности касательных напряжений, окончательно получим

Подставим сюда формулу (5.4).Выразим отсюда Подставляя сюда формулу (1.4): и учитываязакон парности касательных напряжений, окончательно получим

Слайд 24(5.6)
Формула (5.6) называется формулой Журавского.
Здесь Qy – абсолютная величина поперечной

силы в том сечении,

где вычисляются касательные напряжения;
Jx – момент инерции этого сечения относительно нейтраль-
ной линии (оси X);
b – ширина сечения на уровне рассматриваемого
волокна;

-- статический момент относительно нейтральной линии (оси X) отсеченной части сечения, лежащей выше (или ниже) уровня рассматриваемого волокна.

Формула (5.6) дает только величину касательных напряжений. На-
правления их совпадают с направлением поперечной силы Qy.

Распределение касательных напряжений по высоте сечения су-
щественно зависит от формы сечения.

(5.6)Формула (5.6) называется формулой Журавского.Здесь Qy – абсолютная величина поперечной силы в том сечении,

Слайд 25Y
X
Рассмотрим несколько частных случаев. Будем предполагать, что
поперечная сила в

рассматриваемых сечениях направлена вверх.
1. Сечение прямоугольной формы.
y
b
h
C
Cотс
yСотс
h/2-y
M
Aотс
Рассмотрим прямоугольное

сече-
ние размерами h*b, проведем глав-
ную центральную систему коорди-
нат CXY.
Найдем величину касательных
напряжений в произвольной т.М с
координатами (x,y).
Сначала проведем через эту точку
линию, параллельную оси X. Назо-
вем отсеченной часть сечения, лежа-
щую, например, выше этой линии.
Обозначим через Сотс центр тя-
жести отсеченной части и найдем
его координату.
YXРассмотрим несколько частных случаев. Будем предполагать, что поперечная сила в рассматриваемых сечениях направлена вверх.1. Сечение прямоугольной формы.ybhCCотсyСотсh/2-yMAотс

Слайд 26Y
X
y
b
h
C
Cотс
yСотс
h/2-y
M
Aотс
Найдем площадь отсеченной части.
Найдем статический момент отсе-
ченной части.
Момент

инерции прямоугольного сечения

YXybhCCотсyСотсh/2-yMAотсНайдем площадь отсеченной части. Найдем статический момент отсе-ченной части. Момент инерции прямоугольного сечения

Слайд 27Подставляем все найденные величины в формулу Журавского:
Это уравнение

параболы. Построим ее график. Для этого найдем значения напряжения в

нескольких точках.

Y

X

h

C

1

2

3

В т.1 y=h/2;

В т.3 y=-h/2;

В т.2 y=0;

Подставляем все найденные величины в формулу Журавского:  Это уравнение параболы. Построим ее график. Для этого найдем

Слайд 28Y
X
h
C
1
2
3

YXhC123

Слайд 292. Сечение в форме швеллера.
t
d
1
Рассмотрим сечение в форме

швел-
лера. Для простоты рассуждений бу-дем считать элементы швеллера пря-моугольниками. Проведем

главную центральную систему координат CXY.
Найдем величину касательных на-пряжений в нескольких характерных точках швеллера:
т.1, лежащая на верхнем волокне:

, так как все сечение лежит

ниже этого волокна и

X

Y

h

b

C

2. Сечение в форме швеллера.td1  Рассмотрим сечение в форме швел-лера. Для простоты рассуждений бу-дем считать элементы

Слайд 301
h
b
t
d
2
Y
X
т.2, лежащая на полке чуть выше
уровня сопряжения полки и стенки.


Отсеченной частью в данном слу-чае будет прямоугольник разме-рами b*t; Аотс=b*t;
координата

центра тяжести yотс этого прямоугольника равна h/2-t/2.

Можно показать, что между точка-ми 1 и 2 касательное напряжение будет меняться по закону квадрат-ной параболы.

yотс

Тогда

C

1hbtd2YXт.2, лежащая на полке чуть вышеуровня сопряжения полки и стенки. Отсеченной частью в данном слу-чае будет прямоугольник

Слайд 31 Рассмотрим теперь т.3, лежащую на стенке чуть ниже

уровня сопряжения полки и стенки.
Отсеченной частью в данном случае

будет тот же прямоугольник, что и в предыдущем случае, то есть стати-ческий момент меняться не будет. Изменится только ширина сечения на уровне отсеченной части .Тогда

Так как стенка швеллера тоже явля-ется прямоугольником, то и вдоль

3

нее касательное напряжение тоже будет меняться по закону квад-ратной параболы. Поскольку b>>d, то и

Эпюра касательных напряжений на уровне сопряжения полки и
стенки делает резкий скачок.

1

h

b

t

d

2

Y

X

C

Рассмотрим теперь т.3, лежащую на стенке чуть ниже уровня сопряжения полки и стенки. Отсеченной частью

Слайд 32Отметим, что обычно ввиду малости касательные напряжения
Максимальные

касательные напряжения возникают на нейтраль-ной линии (т.4) и определяются по

формуле:

на полках швеллера не определяются.

( получить
самостоятельно).

4

3

1

2

Строим эпюру

Отметим, что обычно ввиду малости касательные напряжения  Максимальные касательные напряжения возникают на нейтраль-ной линии (т.4) и

Слайд 33 Однако прокатные профили и по-добные им так называмые

тонко-стенные стержни имеют еще одну особенность.
Рассмотрим элемент сечения

pmns длиной dz такой, что его грань sn совпадает с боковой поверхностью балки.
Очевидно, что в сечениях ps и mn возникают нормальные напряжения, причем они будут отличаться на бес-конечно малую величину.
Из чертежа видно, что для того, что-бы элемент pmns был уравновешен, необходимо, чтобы в сечении pn возникали напряжения, параллель-ные оси Z и направленные так, как показано на рисунке.
Это будут касательные напря-жения

dz

p

m

n

s

σz

σz+dσz

Z

Y

X

Однако прокатные профили и по-добные им так называмые тонко-стенные стержни имеют еще одну особенность.

Слайд 34dz
p
m
n
s
σz
σz+dσz
Z
Y
Обозначим через Аотс площадь сечения ps.
Запишем условие равновесия элемента pmns.
t
Повторяя

предыдущие выкладки, получим формулу, аналогичную формуле Журавского.
(5.7)
Согласно закону парности касательных

напряжений, в поперечном
сечении балки будут возникать напряжения

которые

можно вычислить по той же формуле (5.7).

Аотс

X

dzpmnsσzσz+dσzZYОбозначим через Аотс площадь сечения ps.Запишем условие равновесия элемента pmns.tПовторяя предыдущие выкладки, получим формулу, аналогичную формуле Журавского.(5.7)Согласно

Слайд 35t
Y
Таким образом, на полках швеллера
кроме напряжений

возникают и на-пряжения
Посмотрим, как меняются эти

напря-жения вдоль полки швеллера. Для это-го определим их в произвольной точке К (x,y). Обозначим через r расстояние от т.К до стенки.
Проведем через точку К линию,пара-ллельную оси Y и назовем часть пол-ки, лежащую левее линии, отсеченной.
Найдем сначала статический момент отсеченной части.

Подставим это в формулу (5.7)

это линейная функция.

К

r

b-r

CK

yCK

X

h

b

C

d

tY  Таким образом, на полках швеллеракроме напряжений    возникают и на-пряжения  Посмотрим, как

Слайд 36Найдем значения этого напряжения в двух точках.
В т.5 r=d;
В

т.6 r=b;
На нижней полке значения напряжений будут отличаться только

знаком. По полученным значениям строим график

вдоль полок швеллера.

К

r

b-r

h

b

5

6

d

Найдем значения этого напряжения в двух точках.В т.5 r=d; В т.6 r=b; На нижней полке значения напряжений

Слайд 37 Покажем окончательный вид эпюр касательных напряжений на полках

и стенке швеллера. Стрелочками указаны их направления, которые опреде-
ляются направлением

попереч-
ной силы.
Можно показать, что касатель-ные напряжения равномерно распределены по толщине сече-ния

Распределение касательных напряжений в швеллере и дру-гих аналогичных тонкостенных профилях, имеет одну интерес-ную особенность.

Покажем окончательный вид эпюр касательных напряжений на полках и стенке швеллера. Стрелочками указаны их направления,

Слайд 38 Найдем равнодействующие касательных напряжений T1 и T2. Если

пренебречь на полках, то
Равнодействующую
найдем, вычислив

площадь со-
ответствующей эпюры и умно-
жив ее на толщину полки:

Покажем эти силы на чертеже.

b

d

Найдем равнодействующие касательных напряжений T1 и T2. Если пренебречь    на полках, то

Слайд 39T2
T1
T1
Из рисунка видно, что силы Т1 и Т2

стре-мятся повернуть сечение вокруг центра тяжести т.С в одну и

ту же сторону, то есть в сечении возникает дополнительное внутреннее усилие – крутящий момент Мz. За счет этого усилия в сечении возникают и дополнительные напряжения, что небла-гоприятно сказывается на прочности бал-ки. Чтобы это предотвратить, необходимо прикладывать внешнюю нагрузку так, что-бы она уравновешивалась внутренними усилиями без появления кручения. Обоз-начим через О соответствующую точку.

Точка О называется центром изгиба.

С

h/2

е

O

Тогда

T2T1T1  Из рисунка видно, что силы Т1 и Т2 стре-мятся повернуть сечение вокруг центра тяжести т.С

Слайд 40С
O
F
Таким образом, чтобы швеллер не испытывал дополнительно воз-
никающего

кручения, надо добиваться того, чтобы линия действия
внешней нагрузки (силовая линия)

проходила не через центр тяжести
т.С, а через центр изгиба т.О.
СOF  Таким образом, чтобы швеллер не испытывал дополнительно воз-никающего кручения, надо добиваться того, чтобы линия действиявнешней

Слайд 413. Сечение в форме двутавра.
h
b
t
d
Y
X
Распределение касательных
напряжений в двутавре
аналогично распределению
их в

швеллере. При этом
( получить самостоятельно).

3. Сечение в форме двутавра.hbtdYXРаспределение касательныхнапряжений в двутавреаналогично распределениюих в швеллере. При этом( получить самостоятельно).

Слайд 43Y
X
Z
F
X
Z
Исследование напряженного состояния в точке
балки.
Рассмотрим кон-сольную балку пря-моугольного

попе-
речного сечения, на-груженную, напри-мер, сосредоточен-ной силой.
Выберем в

этом сечении произволь-ную точку.

Проведем в этой балке произвольное сечение и отбросим часть балки, лежа-щую, например, справа от сечения.

нейтральный
слой

YXZFXZИсследование напряженного состояния в точкебалки.  Рассмотрим кон-сольную балку пря-моугольного попе-речного сечения, на-груженную, напри-мер, сосредоточен-ной силой.

Слайд 44Y
X
Z
Вырежем вокруг этой точки элементарный параллелепипед.
Изобразим этот параллелепипед в

увеличенном виде, нагрузим его
грани напряжениями, которые могут возникать в самом

общем слу-
чае и определим, какие из них будут отсутствовать в случае прямого
плоского изгиба. Для простоты изображения покажем напряжения
только на трех видимых гранях параллелепипеда.
YXZВырежем вокруг этой точки элементарный параллелепипед. Изобразим этот параллелепипед в увеличенном виде, нагрузим егограни напряжениями, которые могут

Слайд 451). Передняя грань параллелепипеда совпадает с боковой поверхностью балки, свободной

от нагрузки, и по-этому напряжения на этой грани от-сутствуют
Y
X
Z
2). В

силу закона парности касательных напряжений

3). Нормальные напряжения на верхней грани параллелепипеда
отсутствуют в силу гипотезы о ненадавливании продольных воло-
кон друг на друга, то есть

1). Передняя грань параллелепипеда совпадает с боковой поверхностью балки, свободной от нагрузки, и по-этому напряжения на этой

Слайд 46 Таким образом, у элементарного параллелепипеда имеется толь-ко одна пара

свободных от напряжений площадок, то есть имеет место плоское напряженное

состояние.

Главные напряжения найдем по формуле (3.4):

(5.8)

главные направления по формуле (3.5):

(5.9)

Таким образом, у элементарного параллелепипеда имеется толь-ко одна пара свободных от напряжений площадок, то есть имеет

Слайд 47Y
Z
F
Выше было показано, что в поперечном сечении балки

возникают
нормальное и касательное напряжения, определяемые по форму-
лам (5.4) и (5.6)

соответственно. Эпюры этих напряжений представ-
лены на рисунке.
YZF  Выше было показано, что в поперечном сечении балки возникаютнормальное и касательное напряжения, определяемые по форму-лам

Слайд 48К1
К1
К1
Согласно эпюрам, в т.К1
В силу закона парности ка-
ное состояние.

Из (5.8) получим
Рассмотрим т. К1 и т.К2, лежащие соответственно на

верхнем и ниж-
нем продольных волокнах балки.

сательных напряжений

Аналогично в т. К2

Имеем линейное напряжен-

К2

К2

К2

К1К1К1Согласно эпюрам, в т.К1 В силу закона парности ка-ное состояние. Из (5.8) получимРассмотрим т. К1 и т.К2,

Слайд 49Согласно эпюрам, в т.М
В силу закона парности
Рассмотрим т.М, лежащую

в нейтральном слое.
М
М
М
касательных напряжений
Из (5.8) получим
Таким образом,

на гра-

нях элемента в т.М возникают только касательные напряжения. Та-
кое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

Согласно эпюрам, в т.М В силу закона парностиРассмотрим т.М, лежащую в нейтральном слое.МММ касательных напряжений Из (5.8)

Слайд 50 Таким образом, в т. М главные площадки расположены

под углом
450 и -450 к поперечному сечению балки.

Из (5.9) получим
Таким образом, в т. М главные площадки расположены под углом450 и -450 к поперечному сечению

Слайд 51Определяя аналогич-ным образом направ-ления главных напря-
жений в других точках балки,

мы можем изо-бразить так называе-мые главные траек-тории.
Так

называются линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направ-лением главного на-пряжения (σ1 или σ3).

Траектории

Траектории

Определяя аналогич-ным образом направ-ления главных напря-жений в других точках балки, мы можем изо-бразить так называе-мые главные траек-тории.

Слайд 52 По траектории можно судить о том, где и в

каком направлении могут появиться тре-щины, если материал конструкции плохо ра-ботает

на растяжение. При армировании же-лезобетонных балок арматуру целесооб-разно располагать в зонах и, по возмож-ности, по направле-нию растягивающих напряжений.

По траектории можно судить о том, где и в каком направлении могут появиться тре-щины, если материал

Слайд 53Расчет на прочность при изгибе.
1. Расчет по методу предельных состояний.

В качестве опасного сечения при расчете на изгиб выбирают

сече-ние, в котором достигает наибольшего значения изгибающий мо-мент. Изобразим это сечение и эпюры возникающих в нем напря-жений.

Нейтральная
линия

Опасные
точки

Опасными точками такого сечения являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии, так как в этих точках возникают
наибольшие нормальные напряжения.

Расчет на прочность при изгибе.1. Расчет по методу предельных состояний.  В качестве опасного сечения при расчете

Слайд 54Нейтральная
линия
Опасные
точки
В этих точках, как было показано выше, возникает

линейное на-
пряженное состояние, поэтому по любой теории прочности условие
прочности

записывается в виде:

Если балка выполнена из хрупкого материала, то записываются
два условия прочности:

НейтральнаялинияОпасныеточки  В этих точках, как было показано выше, возникает линейное на-пряженное состояние, поэтому по любой теории

Слайд 55В опасных точках сечения балки возникает линейное напряженное
состояние; во всех

остальных – плоское. В частности, в точках, ле-
жащих на нейтральной

линии

Тогда, используя, например, четвертую теорию прочности, получим

Отсюда

где Rср– это расчетное сопротивление на срез;

В опасных точках сечения балки возникает линейное напряженноесостояние; во всех остальных – плоское. В частности, в точках,

Слайд 56Кроме того, условие прочности по касательным напряжениям важ-
но проверять в

следующих случаях:
1) если балка короткая;

2) если она нагружена большими сосредоточенными силами,
приложенными на малых расстояниях от опор. В таких бал-
ках поперечные силы могут иметь значительную величину,
в то время, как изгибающие моменты оказываются сравни-
тельно небольшими;
3) если балка деревянная. Для деревянных балок расчет на
прочность по касательным напряжениям может иметь реша-
ющее значение, так как дерево плохо сопротивляется ска-
лыванию вдоль волокон.

Условие прочности в точках, лежащих на нейтральной линии (ус-
ловие прочности по касательным напряжениям), проверяют, если
поперечная сила достигает наибольшего значения в опасном сече-нии балки.

Отметим, что точно также будет записываться условие прочности
во всех случаях состояния чистого сдвига.

Кроме того, условие прочности по касательным напряжениям важ-но проверять в следующих случаях:     1)

Слайд 57Нейтральная
линия
В тонкостенных стержнях могут быть точки, в которых

и нормаль-
ные, и касательные напряжения одновременно достигают больших
значений (например, точки

стенки швеллера, лежащие на линии со-
пряжения полки и стенки).
В этом случае при расчете на прочность также используются тео-
рии прочности (3.8).
Нейтральнаялиния  В тонкостенных стержнях могут быть точки, в которых и нормаль-ные, и касательные напряжения одновременно достигают

Слайд 582. Расчет по методу разрушающих нагрузок.
Рассмотрим расчет балки

прямоугольного поперечного сечения,
выполненной из пластического материала.
X
Y
1)
b
h
Сначала при

небольших значениях внешней нагрузки балка рабо-
тает в пределах упругой зоны.
В ней возникают напряжения, которые можно определить по фор-
муле (5.5) (рис.1):
2. Расчет по методу разрушающих нагрузок.  Рассмотрим расчет балки прямоугольного поперечного сечения,выполненной из пластического материала. XY1)bh

Слайд 59X
Y
1)
2)
3)
4)
b
h
Затем, при увеличении внешней нагрузки в наиболее напряженных
крайних

точках сечения напряжения достигнут предела текучести σт
(рис.2).
При изучении

дальнейшего поведения материала будем пользо-
ваться диаграммой Прандтля, согласно которой напряжения, дос-
тигнув предела текучести, уже не меняют своей величины, то есть
при увеличении нагрузки пластическая зона постепенно проникает
вглубь сечения; упругая часть сечения сокращается (рис.3).
Можно условно считать, что в пределе она пропадает совсем; во
всех точках сечения наступает текучесть (рис.4), то есть деформации
будут нарастать при постоянной нагрузке.

XY1)2)3)4)bh  Затем, при увеличении внешней нагрузки в наиболее напряженныхкрайних точках сечения напряжения достигнут предела текучести σт(рис.2).

Слайд 60X
Y
4)
b
h
Говорят, что в опасном сечении балки появляется так

называемый
пластический шарнир. После этого балка полностью исчерпывает
свою несущую способность и

начинает складываться, как механизм.

Найдем изгибающий момент Мxраз, соответствующей этому состоя-
нию бруса. Из формулы (1.1)

Mxраз =

Mxраз =

По формуле (5.5) найдем наибольший изгибающий момент по ме-
тоду предельных состояний:

А1

А1

XY4)bh  Говорят, что в опасном сечении балки появляется так называемыйпластический шарнир. После этого балка полностью исчерпываетсвою

Слайд 61 Сравним полученные по двум разным методам значения моментов:

Для круга это отношение равно 1,7; для двутавра –

1,15.
Таким образом, мы показали, что метод разрушающих нагрузок
и при изгибе, как и при осевом растяжении-сжатии, позволяет
вскрывать дополнительные резервы конструкции.
Сравним полученные по двум разным методам значения моментов:  Для круга это отношение равно 1,7;

Слайд 62Подбор рационального сечения балки.
1. Пластический материал.
Подбор сечения балки

осуществляется с помощью условия
прочности:
При подборе сечения следует

стремиться к тому, чтобы подо-бранное сечение было возможно более рациональным, то есть таким, для которого отношение

было возможно большим. Это означает, что при минимальной пло-
щади, то есть при минимальных затратах материала, надо стремить-
ся получить как можно больший момент сопротивления, то есть по-
лучить наибольшую прочность балки.

Подбор рационального сечения балки.1. Пластический материал.  Подбор сечения балки осуществляется с помощью условия прочности:  При

Слайд 63 Так как по определению
то Wx будет тем больше,

чем больше Jx. По определению
то есть Jx, в свою очередь,

будет тем больше, чем дальше рас-
полагаются от нейтральной линии частицы площади сечения.
Поясним это на следующем примере. Рассмотрим два сечения,
составленных из одних и тех же элементов: два тавровых и восемь
прямоугольных.

а

а


а


Так как по определениюто Wx будет тем больше, чем больше Jx. По определениюто есть Jx,

Слайд 64
Найдем величину β для этого сечения.
Первое сечение –

прямоугольное.

6а  Найдем величину β для этого сечения.Первое сечение – прямоугольное.

Слайд 65Второе сечение – типа двутаврового.
x
x1
x2
C
y
Найдем сначала момент инерции этого сечения

относительно оси X:
Момент сопротивления будет равен
а
2,5а

13а

Второе сечение – типа двутаврового.xx1x2CyНайдем сначала момент инерции этого сечения относительно оси X:Момент сопротивления будет равена2,5а2а13а

Слайд 66 Площадь этого сечения такая же, как и прямоугольного,

поскольку
оно составлено из тех же элементов, А=30а2. Тогда
Таким

образом, мы получили, что значение β для двутаврого сече-
ния значительно больше, чем для прямоугольного, то есть двутав-
ровое сечение более рационально, чем прямоугольное.
Этот же вывод можно получить и из других соображений. Изобра-
зим прямоугольное сечение и покажем рядом с ним эпюру нормаль-
ных напряжений.
Площадь этого сечения такая же, как и прямоугольного, посколькуоно составлено из тех же элементов, А=30а2.

Слайд 67 Из эпюры нормальных напряжений следует, что наибольшие но-
рмальные

напряжения возникают в крайних точках сечения;
в области нейтральной линии

материал почти не работает.
Поэтому будет рационально его из этой области изъять и распо-
ложить в наиболее напряженной зоне.
В результате таких манипуляций и получится сечение, напоми-
нающее двутавровое.

нейтральная
линия

Из эпюры нормальных напряжений следует, что наибольшие но-рмальные напряжения возникают в крайних точках сечения; в

Слайд 682. Хрупкий материал.
Такие материалы хорошо работают на сжатие и

значительно хуже—
на растяжение. Поэтому целесообразно, чтобы наибольшие растя-
гивающие напряжения в

таких балках были как можно меньше. Это-
го можно добиться в балках с поперечными сечениями, несим-
метричными относительно нейтральной линии. Рассмотрим опять
два сечения, составленных из одинаковых элементов : прямоуголь-
ное и тавровое. Предположим, что в балке растягиваются нижние
волокна.

В силу симметрии прямоугольного сечения наибольшие растяги-вающие и сжимающие напряжения в этом сечении будут одинаковы.

Попробуем сконструировать новое сечение, перенося материал из менее опасной зоны сжатия в более опасную зону растяжения.

2. Хрупкий материал. Такие материалы хорошо работают на сжатие и значительно хуже—на растяжение. Поэтому целесообразно, чтобы наибольшие

Слайд 69нейтральная
линия
C
y
В итоге получим тавровое сечение, несимметричное относительно
нейтральной

линии. Центр тяжести этого сечения сместится по срав-
нению с прямоугольным

вниз, вместе с ним сместится и нейтраль-
ная линия, а, значит, изменится и эпюра напряжений.
Из эпюры видно, что в результате этого значительно уменьшатся
опасные для хрупкого материала растягивающие напряжения. Сле-
довательно, второе сечение будет более рационально, чем первое.
нейтральная линияCy  В итоге получим тавровое сечение, несимметричное относительнонейтральной линии. Центр тяжести этого сечения сместится по

Слайд 70Понятие о расчете неоднородных балок
В строительстве часто используются

балки, составленные из раз-
ных материалов. Например, железобетонные балки, или так

называ-
емые сталежелезобетонные балки, где в сжатой зоне располагают
железобетонную плиту, хорошо работающую на сжатие, а в нижней
растянутой зоне – стальные балки.

железобетон

сталь

При хорошем соединении частей сечения можно считать, что оно
представляет собой монолитное сечение. Тогда при расчете такой
балки будут справедливы все основные формулы, но с поправкой
на неоднородность сечения.

Понятие о расчете неоднородных балок  В строительстве часто используются балки, составленные из раз-ных материалов. Например, железобетонные

Слайд 71 Эту поправку внесем аналогично тому, как это было

сделано при
осевом растяжении-сжатии:
1) во всех основных

формулах изгиба заменим обычные геомет-
рические характеристики на приведенные:

где

-- коэффициент приведения i-го материала к основ-
ному (первому) материалу;

2) введем этот коэффициент во все основные формулы изгиба:

и т.д.

Эту поправку внесем аналогично тому, как это было сделано при осевом растяжении-сжатии:  1) во

Слайд 72 Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении сталежелезобетонной

балки, входящей в состав путепровода, от временной нагрузки q=27 кН/м.
Двутавр

№45

Пример.

сталежелезобетонная балка

Поперечное сечение балки состоит из железобетонной части (при
расчете арматуру учитывать не будем) – прямоугольник размером
120х12см и стальной– двутавр №45.

120см

12см

Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении сталежелезобетонной балки, входящей в состав путепровода, от временной

Слайд 73q=27кн/м
ℓ=8м
Будем считать, что балка
длиной 8м шарнирно оперта
по краям

и загружена равно-
мерно распределенной на-
грузкой интенсивностью
q=27 кн/м.

Решение.

q=27кн/мℓ=8м  Будем считать, что балкадлиной 8м шарнирно опертапо краям и загружена равно-мерно распределенной на-грузкой интенсивностью q=27

Слайд 74Qy
q=27кн/м
ℓ=8м
Найдем реакции опор и по-
строим эпюры внутренних
усилий Qy и Mx.


Опасным будет сечение в
середине балки, Мmax=216кнм.

Рассмотрим это сечение.
За основной материал возьмем
бетон; Е1=2*104МПа;
другой материал –
сталь; Е=2*105МПа.
Qyq=27кн/мℓ=8мНайдем реакции опор и по-строим эпюры внутреннихусилий Qy и Mx.  Опасным будет сечение в середине балки,

Слайд 75Y
120см
12см
45см
C1
C2
X0
O
Найдем положение цен-
тра тяжести сечения отно-сительно произвольной системы

координат OX0Y.
Выпишем координаты центров тяжести прямо-угольника и

двутавра отно-сительно системы OX0Y и площади этих фигур:

т.С1 (0,y1=51); A1=1440;

т.С2 (0,y2=22,5); A2=84,7.

Здесь и далее расчеты ве-дутся в сантиметрах.Найдем приведенную площадь:

Y120см12см45смC1C2X0O  Найдем положение цен-тра тяжести сечения отно-сительно произвольной системы координат OX0Y.  Выпишем координаты центров тяжести

Слайд 76X
Y
120см
12см
45см
C
C1
C2
X0
O
Координату центра тя-жести найдем по форму-ле:
Покажем

точку С -- центр тяжести – на чертеже.

Так как ось Y совпадает с осью симметрии фигуры, то проведенные
через точку С оси X и Y будут главными центральными осями
сечения.

yc=40,5см

XY120см12см45смCC1C2X0O  Координату центра тя-жести найдем по форму-ле:  Покажем точку С -- центр тяжести – на

Слайд 77X
X1
X2
Y
120см
12см
45см
C
C1
C2
40,5см
Найдем приведенный
момент инерции:
а1
а2

XX1X2Y120см12см45смCC1C240,5см  Найдем приведенныймомент инерции:а1а2

Слайд 78X
Y
12см
45см
C
40,5см
Определим напряжения
по формуле:
Значения y здесь подставляем в мет-
рах.

Найдем напряжения в нескольких
1) В бетоне --
1
2
точках, учитывая, что, как

следует из эпюры Mx, выше оси x лежит
зона сжатия, ниже – растяжения.

y1

y2

XY12см45смC40,5см  Определим напряженияпо формуле:Значения y здесь подставляем в мет-рах. Найдем напряжения в нескольких1) В бетоне --12точках,

Слайд 79Y
45см
C
y3=40,5см
1
2
По найденным значениям строим эпюру напряжений.
Из эпюры видно, что вся

бетонная часть балки лежит в сжатой зоне,
а в месте сопряжения

двух разных материалов на эпюре возникает
скачок.

5

1,4

14

120

,МПа

y2

3

2) В стали --

Y45смCy3=40,5см12По найденным значениям строим эпюру напряжений.Из эпюры видно, что вся бетонная часть балки лежит в сжатой зоне,а

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика