РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

помощью производной.

Точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функции.

если она является внутренней точкой области определения и производная в

ней равна нулю или не существует.

всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то

функция в этом интервале возрастает. 
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует. (Производная

равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)
Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

из интервалов
Применить признаки
Записать ответ.

минимума функции называются точками экстремума

х0  производная f'(x)  данной функции меняет знак с « – »

на « + »,  то функция в этой точке х0 имеет минимум.
Если при переходе через стационарную точку х0  производная f'(x) данной функции меняет знак с « + » на « – »,  то функция в этой точке х0 имеет максимум.

стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или  f'(x) не

существует.
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов.
6. Применить признаки.
7. Найти уmax , уmin
8. Записать ответ.

является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах

интервала   лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции  , дифференцируемой на интервале  , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала   лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

или вогнутости графика функции)
Пусть функция   определена на интервале 

 и имеет непрерывную, не равную нулю в точке   вторую производную. Тогда, если   всюду на интервале  , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если  , то функция имеет выпуклость.

разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

имеет перегиб в точке 

, то    или не существует.

в окрестности точки x1 ;
вторая производная   

или не существует в точке x1 ;
  при переходе через точку  x1  меняет свой знак,
тогда в точке    функция    имеет перегиб.

в которых вторая производная равна нулю или не существует.
Исследовать знак

производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.

точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем

уравнение 

вторая производная отрицательна , то на этом промежутке функция  выпукла;
на промежутке 

  вторая производная положительна  - функция вогнута.
Так как при переходе через точку  х =2 вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

что расстояние от точки   графика функции до этой прямой стремится

к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

,
горизонтальные  

,
наклонные

хотя бы в некоторой полуокрестности точки и хотя бы один из

ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции.
Таким образом, вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).

величине, и существует конечный предел функции 


Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика

функции .

величине, и существуют конечные пределы 


Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .
Заметим,

что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

вертикальными асимптотами графика функции, т.к.
прямая  у=2  - горизонтальная асимптота, т.к.

=2

(их нет).

провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью

построения ее графика имеет следующую структуру:
Область определения   и область допустимых значений   функции.
Четность, нечетность функции.
Точки пересечения с осями.
Асимптоты функции.
Экстремумы и интервалы монотонности.
Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
Дополнительные точки
Построение графика функции