Различные способы решения квадратных уравнений

Выполнила: Алексеева Елена,

ученица 10 класса.
Руководитель: Алексеева Мария Ананьевна,
учитель математики.

Различные способы решения квадратных уравнений.

уравнений.
Задачи:
Изучить литературу по теме исследования.
Провести опрос и

систематизировать материалы.
Сделать выводы.
Методы: поиск, анализ, опрос, систематизация.
Объект исследования: алгебра.
Предмет исследования: квадратные уравнения.
Актуальность моей темы состоит в том, что учащиеся с 8-11 класс практически ежедневно сталкиваются с решением квадратного уравнения, и стараются как можно быстрее найти его корни, чтобы решить поставленные задачи.

Б)Нет
2)Возникают ли

трудности у вас при решении квадратного уравнения?
А)Да Б)Нет
3)Часто ли вы решаете квадратные уравнения.
А)Да Б)Нет
4)Столько способов решения квадратного уравнения вы знаете?
Ответ:
5)Какой способ решения квадратных уравнений вы используете чаще других?
Ответ:

+ px + q = 0
перенести второй и третий члены

в правую часть, то получим
х2 = - px - q.
Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.
График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -
прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:
- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,
абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую
у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и
N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках
А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4.
Ответ: х1 = - 1; х2 = 4.

линейки.
Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).
Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.
Центр окружности находится в точке пересечения
перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд
AC и BD, поэтому



Итак:
1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

(AS > SK, или R > a + c/2a), окружность

пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра
(AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра
 
окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

7).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:




Проведем окружность

радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ: х1 = - 1; х2 = 3

помощью номограммы.

Криволинейная шкала номограммы построена
по формулам (рис.11):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из
подобия треугольников САН и CDF получим
пропорцию
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы. Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и
z2 = 1,0 (рис.12).

Заключение
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные

уравнения играют огромную роль в развитии математики. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.
Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

школ и классов с углубленным изучением математики /Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло

и др., Под ред Н.Я.Виленкина.-М.:Просвещение, 1997.
2.Морткович А.Г. Алгебра 8 кл.: Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений.-М.:Мнемозина, 2003.
3.Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб.Пособие/В.К. Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др; Под ред. М.И.Сканави-М.:СТОЛОТИЕ, 1997
4.Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.
5. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.
Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.
6. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.
7. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1987.
8. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/82. С. 34.
9. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.
10. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.