Различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы

на смеси, сплавы, растворы


Теоретические основы решения задач на смеси,

сплавы, растворы.
Вывод формулы
Обучение решению задач по этой формуле.
Список задач для самостоятельного решения.
Графические иллюстрации к решению задач на смеси, сплавы, растворы.
Вывод формулы для решения задач на неоднократные переливания.
Обучение решению задач по этой формуле.
Список задач для самостоятельного решения по формуле
Список задач для самостоятельного решения для абитуриентов.

III. Список используемой литературы

углублённым изучением химии, мне неоднократно приходилось встречать в экзаменационных билетах

РХТУ им. Д.И.Менделеева и других московских ВУЗов задачи на смеси, сплавы, растворы. Под руководством учителя мы изучили множество пособий, где отражены различные способы решения задач такого вида. У каждого автора есть интересные способы решения, но многие из задач я всё же решала по-своему. Так, например, взяв за основу идею математика Лурье при решении задач на нахождение массовой доли чистого вещества в смеси из двух сплавов, я предлагаю более понятную и удобную таблицу и формулу, быстро приводящие к ответу. Значительно упрощён вывод формулы для вычисления концентрации раствора при неоднократном выливании некоторого количества раствора и доливании такого же количества воды или другой однородной жидкости. Мне показалось, что часть задач легко решается, если применить графическую иллюстрацию. Таким образом, при решении многих задач приведены более доходчивые для школьников приёмы решения, чем мы встречали в пособиях.
В этом проекте решены некоторые задачи на смеси, сплавы, растворы из нового сборника для проведения письменного экзамена в основной школе (для выпускников 9-х классов) под редакцией С.Шестакова.
Выпускники, поступавшие и поступившие в различные ВУЗы, подбрасывают нам новые задачи, а главное, с благодарностью отзываются о нашем проекте, по которому они научились решать задачи на смеси.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТА

«на смеси, сплавы, растворы»


Перед тем, как приступить к объяснению различных способов решения подобных задач, примем некоторые основные допущения.
Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов, что отражает закон сохранения массы.
Определение. Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси.
Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах. Например, если мы в 120 г воды добавим 30 г поваренной соли ( NaCl ), то общая масса раствора станет 150 г, а концентрация соли в растворе 30:150=0,2 - дробью или 20%. Оба ответа приемлемы.
Иногда концентрация может быть определена и по объёму. Например, если в смеси из 20 куб.м находится 5 куб.м вещества «А», то его объёмная концентрация равна 5:20=0,25 – в дробях или 25%.
Но, как показывает практика, не всегда сумма объёмов смешиваемых веществ равна объёму их смеси. Поэтому чаще всего мы будем находить процентное содержание по массе.
Выскажем теперь замечание по поводу терминологии:
процентное содержание вещества;
концентрация вещества;
массовая доля вещества.
Для нас это синонимы. Преподаватели химии рекомендуют нам привыкать к термину «массовая доля», поэтому в данной работе чаще упоминается именно этот термин.
Концентрация – это безразмерная величина. Сумма массовых долей всех компонент, составляющих смесь, очевидно, равна единице.

(сплавов, растворов) получают новую смесь (сплав, раствор).
Решим типовую задачу в

общем виде, выведем формулу, а затем предложим школьникам образцы решения задач по выведенной формуле.
Итак, решим задачу. Имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное содержание меди в них p1 % и p2 % соответственно. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий
p% меди?

Решение. Понаблюдаем за содержанием меди.

(*)

(**)

II случай. Возьмём два сплава с одинаковым процентным содержанием меди,
т.е. p1=p2 . Решая уравнение (*) , получим, что p1=p2=p , что очевидно, поскольку ни большей, ни меньшей концентрации сплав просто не получится, если исходные материалы имеют одинаковую процентную концентрацию меди, каковы бы ни были массы исходных сплавов.
III случай: p2 =p , или же будет сказано, что p1= p , вывод тот же.
Заметим, что если взять два сплава, массы которых одинаковы, т.е. m1 = m2 , то

то есть процентное содержание нового сплава станет равно среднему арифметическому процентных концентраций исходных сплавов. Это очень полезное следствие для равных масс исходных сплавов поможет нам в решении некоторых задач. Но даже, если на первых порах вы и забудете это следствие, формула (**) всё равно выведет вас на верный ответ.
А теперь давайте рассмотрим однотипные задачки, решение которых очень удобно по этой формуле.

Исследуем уравнение (*) при условии, конечно, что будем брать ненулевые массы сплавов.
I случай. Если p1 , p2 и p попарно не равны, то получим формулу

правильный путь к ответу на вопрос задачи

Затем одну треть воды выпарили.

Найти концентрацию получившегося раствора.

Решение

До выпаривания:



25% 25% 25% 25%
После выпаривания:





Сейчас соль стала составлять одну треть всего раствора или

Ответ:

или 0,2
II СПЛАВ
Золота в нём 2/5 или 0,4
Задача. Имеется два

сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?

В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а

в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золота и серебро относилось бы как 1:4?

Решение
0,1х+0,4(15-х) =3
X =10
m (Iсплава) =10 (кг)
m (II сплава) =15–10 =5 (кг) Ответ: 10 кг, 5 кг.

задач с использованием специальной таблицы, хотя, конечно, и здесь вполне

может быть применена формула





где m1=x, m2=15-x, p1=0,1, p2=0,4, p=0,2





получим х=10.
10 кг первого сплава надо взять.
15-10=5.
5 кг второго сплава надо взять.

Ответ: 10 кг, 5 кг.

типа. Привожу тексты и решения этих задач.
1. Яблоки при

сушке теряют 85% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 30 кг сушёных?




Решение: 30:15*100=200 (кг) Ответ: 200 кг.

2. В сплаве олова и меди медь составляет 85%. Сколько надо взять сплава, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова?




Решение: 4,5:15*100=30 (кг) Ответ: 30 кг.

решения помогла мне прийти к верному ответу

взяты два сосуда: первый – ёмкостью 10 литров, второй –

20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

были взяты два сосуда : первый – ёмкостью 10 литров, второй – 20 литров (пустые!)

А.
осталось (10-х) л свободного пространства
осталось (5+х) л свободного пространства
Для составления

смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый – ёмкостью 10 литров, второй – 20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

жидкости А в первом сосуде равна х/10
Для составления смеси из

двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый – ёмкостью 10 литров, второй – 20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В, и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

Напоминаем,
сейчас
в сосуде
10 л

Массовая

доля жидкости А равна х/10.

Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый – ёмкостью 10 литров, второй – 20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

было произведено перемешивание

сосуда.
Для составления смеси из двух жидкостей А и В

были взяты два сосуда: первый – ёмкостью 10 литров, второй – 20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

л,

да ещё было в нём (15 - х) л жидкости А.
Итого сейчас во втором сосуде (5+х)х/10 + (15-х) л жидкости А, или
(х2 - 5х+150)/10 л жидкости А.

Зная, что объём второго сосуда 20 л, рассчитаем массовую долю вещества А во втором сосуде
(х2 - 5х+150)/(10*20) или (х2 - 5х+150)/200

массовая доля
жидкости А
по-прежнему
равна х/10

взяты два сосуда: первый – ёмкостью 10 литров, второй –

20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

10 - 5- х=(5 -х) л смеси А и В

массовая доля
жидкости А
по-прежнему
равна х/10

В первом сосуде сейчас находится (5 - х) х/10 л чистого вещества А

в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, т.е. х л

5-х+х=5 л смеси стало в 1-ом сосуде
В этой смеси чистого вещества А (5-х)х/10+х = (-х2+15х)/10 л

Разделив массу чистого вещества А на всё количество смеси в 1-ом сосуде, рассчитаем массовую долю этого вещества
(-х2+15х)/(10*5)=(-х2+15х)/50

л стало в 1-ом сосуде

(-х2+15х)/50,

массовая доля вещества А в 2-ом сосуде (х2 - 5х+150)/200.

отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными.

По условию задачи

Составим уравнения (-х2+15х)/50 = (х2 - 5х+150)/200.
Решив это уравнение, получим х1 = 10 х2 = 3
Но 10 л жидкости А не могли налить в первый сосуд, т.к. в нём не осталось бы свободного пространства.

Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый – ёмкостью 10 литров, второй – 20 литров. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 литров жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него её налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объёму имеющейся жидкости для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?

Ответ: 3 л было налито первоначально в первый сосуд.

Ежедневно выпариваемые порции соли постоянны для каждого сосуда. Из первого

сосуда получено 48 кг соли, а из второго, стоявшего на 6 дней меньше - 27кг. Если бы первый сосуд стоял столько же дней, сколько второй, а второй столько же, сколько первый, то из обоих растворов получилось бы одинаковое количество соли. Сколько дней стоял каждый раствор?

Решение. Обратим внимание на фразу из задачи: ежедневно выпариваемые порции соли постоянны для каждого сосуда.
Это надо понять так, что масса получаемой соли прямо пропорциональна количеству дней выпаривания, при этом количество соли, получаемой каждый день, это и есть коэффициент пропорциональности. То есть имеем функциональную зависимость:
Количество выпариваемой соли = скорость выпаривания * количество дней.
Пусть К1 – коэффициент пропорциональности для первого сосуда, К2 – для второго сосуда. Х дней выпаривали соль из первого сосуда.

Составим и решим систему уравнений:
48=К1Х,
27=К2 ( Х-6),
К1(Х-6)=К2Х.

К1=48/Х,
К2=27/(Х-6)
Подставим полученные значения в третье уравнение системы
(48/Х)* (Х-6)= (27/(Х-6))*Х
Обозначив участвующие здесь обратные дроби соответственно как t и 1/t, получим, что t=3/4
(Х-6)/Х=3/4, Х=24
Итак,24 дня стоял первый сосуд, а на 6 дней меньше, или 18 дней стоял второй сосуд.

Ответ: 24 дня, 18 дней.

иллюстрацию происходящего в задаче процесса выпаривания. Коэффициенты К1 и К2

найдем из системы К1=48/24 или 2, К2= 27/18 или 1,5. Y=2X соответствует процессу выпаривания соли из первого сосуда, а Y=1,5Х из второго. В частности из графиков видно, что если первый сосуд будет стоять не 24 дня, а 18 дней, второй сосуд не 18 дней, а 24 дня, то в них окажется одинаковое количество соли 36 кг.

начальный объём, который сохраняют неизменным при каждом шаге
Сn- конечная концентрация,

C0 - начальная (исходная ) концентрация,
a – объём отливаемой каждый раз смеси

Докажем эту формулу.

Рассмотрим задачи, которые можно объединить в одну группу из-за того, что поиск ответа на вопрос связан с выявлением общей закономерности изменения концентрации раствора в результате многократно повторяющейся операции.

Решим в общем виде такую задачу. В сосуде, объём которого равен V0 литров, содержится раствор соли концентрации С0. Из сосуда выливается a литров смеси и доливается a литров воды, после чего раствор тщательно перемешивается. Эта процедура повторяется n раз. Какова станет концентрация соли в растворе после n таких процедур?

Если в задаче n раз отливают некоторое количество раствора и затем столько же раз приливают такое же количество воды или другого однородного вещества, то для решения задачи вам пригодится формула:

рассуждение.
Последовательность С0, С1, С2,…, Сn-1, Сn представляет собой убывающую
геометрическую

прогрессию концентраций раствора.

Теперь предложим несколько однотипных задач, которые уже легко решить с помощью только что выведенной формулы.

2 литра глицерина, а к оставшемуся глицерину допили 2 литра

воды. После перемешивания снова отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. Наконец, опять перемешали, отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 литра больше объема оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций? Ответ: 0,5 л; 3,5 л.
№2 В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-ный раствор соляной кислоты? Ответ: 6 л
№3 (Это №13.432 из группы В сб. конкурсных задач под ред. М.И.Сканави). Из сосуда с водой отлили 1 л воды и добавили 1 л кислоты. Затем отлили 1 л смеси и добавили 1 л кислоты и т. д. После того, как процесс был повторён 20 раз, оказалось, что смесь в сосуде состоит наполовину из воды и наполовину из кислоты. Сколько воды было первоначально в сосуде? Ответ: 20,05 / (20,05 - 1) л
№4 Из бутыли, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 литр и долили 1 литр воды. В бутыли оказался 3%-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли? Ответ: 4/3 л

Предлагаю вам задачи для самостоятельного решения по этой формуле

при внимательном чтении оказывается, что цикл переливаний не закончен. Так

что будьте бдительны.
Приведем пример.

Задача. Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси; тогда в сосуде осталось 24 л чистой кислоты. Ёмкость сосуда 54 л. Сколько кислоты вылили в первый раз и второй раз?

Решение
Обратим внимание, что на втором шаге воду не доливали.
По условию задачи объём сосуда, наполненного кислотой, 54 л. Её концентрация 100%. Пусть вылили Х литров смеси, тогда в сосуде осталось (54-Х) литров 100%-ной кислоты. В сосуд доливают Х л воды. По определению массовой доли кислоты надо массу кислоты разделить на массу раствора:
(54-Х)/54.
Опять выливают Х литров смеси, в сосуде остаётся (54-Х) л смеси с массовой долей кислоты
(54-Х)/54.
Чтобы найти массу кислоты в этой оставшейся смеси, надо массу раствора умножить на массовую долю чистой кислоты в этом растворе. По условию масса чистой кислоты в этом растворе стала 24л. Составим и решим уравнение:
(54-Х)* ((54-Х)/54) = 24,
(54-Х)2 = 1296,

зная, что Х меньше 54, получим единственное решение Х = 18.
В первый раз вылили 18 литров чистой кислоты. Но во второй раз выливали 18 литров смеси, в ней чистой кислоты было 18* (54-18)/54 = 12 (л)
Ответ: 18 л; 12л

Плехановский университет

(Российский торгово-экономический университет)

Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить массы сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4кг, а во втором 8 кг. Ответ: 8 кг; 32 кг
В первом сосуде растворили 0,36 л, а во втором 0,42 л чистого спирта. Процентное содержание спирта в первом сосуде оказалось на 6% больше, чем во втором. Каково процентное содержание спирта во втором и первом сосудах, если известно, что растворы в первом сосуде на 4 л меньше? Ответ: 12% и 6%
В 4 кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало бы равным 70%? Ответ: 4кг
К 40% раствору серной кислоты добавили 50 г чистой серной кислоты, после чего концентрация раствора стала равной 60%. Найти первоначальную массу раствора. Ответ: 100 г
К раствору, содержащему 30 г соли, добавили 400 г, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе. Ответ: 15%
В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько килограммов олова надо добавить к сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало вдвое меньше? Ответ: 5 кг

олова. Найти первоначальное процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, если

в новом сплаве цинка стало в 2 раза меньше, чем олова. Ответ: 60%
К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся В отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограммов нового сплава получилось? Ответ: 9 кг
Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 200 г сплава, содержащего 30% меди? Ответ: 140 г, 60 г
Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля в 30%? Ответ: 40 т и 100 т
Имеется два разных сплава меди, процент содержания меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Когда оба сплава сплавили вместе, то новый сплав стал содержать 36% меди. Известно, что в первом сплаве было 5 кг меди, а во втором вдвое больше. Каково процентное содержание меди в обоих сплавах? Ответ: 20% и 60%
Имеются два сплава золота и серебра. В одном количестве этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относились бы как 1:4? Ответ: 10 кг и 5 кг
На завод поступило 20 тонн меди и 10 тонн свинца. Из них были приготовлены три сплава: в первый сплав медь и свинец входят как 3:2, во второй как 3:1 и в третий как 5:1. Найти массы изготовленных сплавов, если известно, что первого и второго сплавов вместе было приготовлено в 4 раза больше, чем третьего. Ответ: 20 тонн, 4 тонны, 6 тонн

в качестве консультанта, поскольку к началу нового 2006-2007 учебного года

стану студенткой, а наши ученики соберут всё наработанное нами на факультативных занятиях в единый сборник. Считаю полезным каждую задачу сопроводить несколькими способами решений.

Спасибо за внимание!
Корчененкова Катя.

над проектом


М.В. Лурье и др.

Задачи на составление уравнений, изд-во «Наука», М., 1976 г.
Н.А. Терёшин Прикладная направленность школьного курса математики, «Просвещение», М., 1990 г.
Е.П. Сидоров Правила и способы решения конкурсных задач по химии, изд-во НИИЭИР, М., 1998 г.
А.В. Шевкин Школьные математические олимпиады, изд-во «Русское слово», 2002г.
О. Городнова Статья «Учимся решать задачи на «смеси и сплавы», г-та «Математика» №36 за 2004 г.

Многочисленные сборники задач для поступающих в ВУЗы