Слайд 2Скалярное поле и его геометрическое изображение.
Опр-е: Скалярным полем называется часть
пространства (или все пр-во), каждой точке Р которой соответствует численное
значение некоторой скалярной величины U.
Пр-ры: неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности, поле распределения температуры в данном теле; поле распределения электрического потенциала и т.д.
Скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения точки Р в пространстве. Величина U рассматривается как функция точки Р: u=F(P). Эта функция называется функцией поля.
U=F(P)=F(x,y,z)
Всякая функция трех переменных U=(x,y,z) задает некоторое скалярное поле.
Скалярные поля изображаются геометрически с помощью поверхностей уровня.
Слайд 3
Опре-е: Поверхностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется геометрическое
место точек пространства, в которых функция поля U=F(x,y,z) имеет одно
и то же значение С.
Ур-е поверхности уровня имеет вид:
F(x,y,z)=C
Пр-р: 1) U=x2+y2+z2
поверхности уровня сферы : x2+y2+z2=С.
2) если скалярным полем является поле распределения температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля будут так называемые изотермические поверхности, т.е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна.
Слайд 4Производная по направлению.
Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля U=F(x,y,z). Рассмотрим
точку Р(x,y,z) этого поля и луч , выходящий из точки
Р в направлении единичного вектора.
где - углы вектора c осями координат.
Опр-е: Производной функции U=F(x,y,z) по направлению
называется предел .
Обозначение: .
Производная по направлению дает скорость
изменения функции U в этом направлении.
Слайд 5
Формула для:
(*)
Следствие: если вектор совпадает с одним из
векторов
, то производная U
по направлению совпадает c соответствующей частной производной этой функции.
Пр-р: Найти производную функции u=x2-2xz+y2 в точке Р1(1;2;-1) по направлению, идущему от точки Р1 к точке
Р2 (2;4;-3).
Решение:
соответствующий ему единичный вектор
Слайд 6
Найдем частные производные функции:
u=x2-2xz+y2
Их значения в точке Р1 (1;2;-1);
Подставляем
в формулу (*) найденные значения, получим
искомую производную:
Слайд 7Градиент.
При изучении скалярных полей наряду с функцией поля U=F(x,y,z) рассматривается
некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией – градиент скалярного
поля.
Опр-е: Градиентом в точке Р(x,y,z) скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией U=F(x,y,z), называется вектор, равный:
Связь между градиентом функции U=F(x,y,z) в данной
точке и производной по направлению в этой же точке.
Теорема: Проекция вектора grad u на единичный вектор
равна производной ф-ии U по направлению
Слайд 8
! Проекция grad u на вектор равна скорости
изменения поля U=F(x,y,z) в направлении вектора .
Пусть
угол между и gradu.
Тогда
если , то имеет наибольшее значение ,
равное .
Вывод: gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.
