Случайные погрешности результатов измерений Обработка результатов

вероятности, среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного

значения измеряемой величины.

в ряду измерений
Для нормального закона распределения оценку СКО отдельных результатов

измерений в серии из n независимых равноточных измерений вычисляют по формуле:

единичного измерения.

При этом если результаты единичного измерения подчиняются нормальному закону

распределения вероятности, то и среднее арифметическое подчиняется нормальному закону с тем же математическим ожиданием.

нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на

части. Абсциссы таких линий называют квантилями.
Площадь под кривой, ограниченная квантилями Q1 и Q2 , есть вероятность того, что значение случайной величины Q находится в интервале [Q1, Q2].
Такой интервал называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.

а половину доверительного интервала устанавливать кратной СКП (t·S) и принимать

за оценку случайной погрешности результата измерения.
Применяется также термин «доверительные границы случайной погрешности». Доверительные границы случайной погрешности находят по формуле: =  tS
где t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и формы закона распределения.

интервальном оценивании случайной погрешности необходимо указывать значение принятой доверительной вероятности.
В

целях единообразия интервальных оценок случайных погрешностей при технических измерениях доверительная вероятность принимается равной Р=0,95.
Если измерение нельзя повторить, ГОСТ 8.207‑76 допускает принимать Р=0,99.

Р  0,85 значения t максимальны для нормального распределения.
Поэтому при

неизвестной функции распределения (или при невозможности проверки принадлежности результатов наблюдения к нормальному распределению) рекомендуется распределение считать нормальным, т.к. надежность оценки погрешности повышается.

Р=0,9973 для нормального распределения t = 3, т.е. с вероятностью

0,9973 все случайные значения измеряемой величины попадают в интервал  3 .
Если отклонение результата наблюдения Qi от среднего арифметического Q составляет больше 3σ,
Qi – Q  3σ
→ такое наблюдение содержит грубую погрешность, и должно быть исключено при обработке результатов измерений.

оценки СКО:
За результат измерения принимается оценка измеряемой величины по данным

всех групп наблюдений.
Эта оценка называется средним взвешенным:

Дано: m групп независимых наблюдений одной и той же величины

среднего арифметического

в каждой группе.
Коэффициенты aj - весовые коэффициенты

определяется число степеней свободы (n-1) распределения Стьюдента по формуле:

nj - число наблюдений в j-й группе.

m – число групп наблюдений

значения которых определяются прямым измерением.
За результат косвенного измерения принимается величина,

вычисляемая при подстановке в формулу для Q средних арифметических значений xi .

суммарную абсолютную погрешность Q входят составляющие в виде абсолютных погрешностей

измерения каждого из xi .

xi равна:
Если известны СКП Si для отдельных xi, то

соответствующие составляющие СКП результирующей погрешности:

Ξ

Частная погрешность косвенного измерения

имеется корреляция:
СКП функции нескольких переменных:
Производные вычисляются при:

она может быть исключена из рассмотрения.

Вводятся поправки для исключения всех известных систематических эффектов. Все неисключенные

систематические погрешности необходимо просуммировать между собой для оценки доверительных границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Δс.
Суммарная НСП образуется из НСП метода, НСП поправок, НСП за счет несовершенства применяемых СИ и т.д.
Все составляющие суммарной НСП рассматриваются как случайные величины, и при отсутствии данных о виде распределения отдельных составляющих принимается гипотеза о равномерном распределении. Границы НСП определяются по формуле:

оно принимается таковым.
Правила такой проверки стандартизированы ГОСТ 11.006‑74.
При n >

50 проверка производится с использованием критериев Колмогорова (λn), Пирсона (χ2), или Мизеса‑Смирнова (ω2).
Если 3< n <50 для проверки используется специальный критерий (W).

3. Вычисляются:
среднее арифметическое исправленных показаний,
СКП в ряду измерений,
СКП среднего арифметического .

Показания, содержащие грубые погрешности, исключают из массива данных и заново

вычисляют среднее арифметическое и СКП.

5. По заданной доверительной вероятности Р и числу наблюдений n определяется коэффициент Стьюдента. Для прямых равноточных измерений его находят по таблице «коэффициенты t для распределения Стьюдента», а для прямых неравноточных измерений – после предварительного расчета числа степеней свободы (n-1). При косвенных измерениях прямое пользование таблицей «коэффициенты t для распределения Стьюдента» правомерно для n ≥ 30. Если же n < 30, то предварительно должно быть рассчитано значение (n-1)эф . При дробных значениях (n-1) и (n-1)эф осуществляется интерполяция.

соотношения между НСП и случайной погрешностью.
6. Рассчитываются доверительные границы

случайной погрешности результата измерения

8. Записывают результат измерений по стандартной форме.

перед измерением на основе априорной информации.
1. Проводится анализ составляющих погрешности

результата измерения по источникам возникновения. Анализируется модель объекта, определяются влияющие факторы, оцениваются погрешности метода, инструментальные погрешности (погрешности СИ), изучается опыт выполнения подобных измерений.

определения  с . (Аналогично процедуре при многократных наблюдениях)
3. Оценивается

СКП результата измерения в предположении, что все выявленные случайные погрешности независимы. С помощью коэффициентов Стьюдента находятся доверительные границы случайной погрешности .
Для однократных измерений приняты следующие значения t : при Р=0,95 t=2; при Р=0,99 t=2,6.

По аналогии с многократными наблюдениями рекомендуется провести сопоставление НСП и

СКП

8. Записывают результат измерений по стандартной форме.

выражения точности измерения является задание интервала, в котором с установленной

вероятностью находится суммарная погрешность:
Q;  от н до в; Р
При симметричной функции распределения  результат измерения можно записать в виде
Q   ; Р

Числовое значение Q должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение .

:
Если значительны по уровню и систематические и случайные погрешности:

отличаются от стандартных, эти функции целесообразно использовать для выражения точности

измерения:

Q

;

;