Спецкурс Математическое моделирование в гуманитарных науках Лекция 2

2
Шведовский В.А.,
д.соц.н., к.ф.-м.н
МГУ им. М.В.Ломоносова

породили представления об устойчивых стационарных моделях как основе описания явлений

мира:
Существующее устойчиво
Исследования сложных систем в науках о живой материи (биологии, физиологии, психологии и т.д.) и неравновесных процессов в физике, физи- ческой химии обосновали заглавный постулат:
Предсказуемость существующего

и цели решаемой задачи
Любой конкретный социальный процесс имеет конечные

временные рамки: сроки возникновения и завершения.
Внутри этого интервала времени может быть выбран такой срок, в пределах которого структура отношений между факторами неизменна, а т.е. возможны такие постановки задач, для которых имеет содержательный смысл стационарная модель (см).

В случае, когда в рамках некоторого подинтервала времени проис-
ходят перестройки структуры социального процесса, то логично определиться с нестационарной моделью (нм).

Нестационарная модель может оказаться устойчивой, частично устойчивой и неустойчивой в соответствии с типом процесса.
Все эти классы моделей приемлемы в сфере задач прогнозирования, если число обусловленности матрицы оператора модели < 500

A(Xn, Xn-1,…, Xn-m), где Xn – вектор в k –

мерном признаковом пространстве с метрикой не хуже, чем в интервальных шкалах, n – дискретное время, т.е. это СРС – система рекуррентных соотношений с m – лагом.
Условием перехода СРС в конечно-разностные уравнения (КРУ) являются требования (на примере 2-х слойной схемы; рассматриваются также модели процессов с числом слоев ≤ 3):
Xn+1 = Xn + τ*F(tn, Xn), где tn = n*τ
Условием перехода КРУ в ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения является существование конечного предела:
lim (Xn+1 - Xn )/(tn+1 - tn ) при (tn+1 - tn) 0

модели — явно заданные динамические системы, зависящие от конечного числа

параметров. Важнейшим требованием к модели является то, что она должна правильно, по крайней мере качественно, описывать природу соответствующего физического или социально-экономического явления.
В связи с этим вспомним следующее замечание, сделанное Ляпуновым: «. . . нельзя использовать сомнительные аргументы при решении конкретной проблемы, не важно механики или физики, если она задана корректно с математической точки зрения. С того момента, как система определена, она становится предметом чистого анализа и ее нужно трактовать только таким образом».
Дом. задание: привести пример некорректной модели

т.е. не менять свой топологический тип фазовой диаграммы при «малом

шевелении» векторного поля д.с.
Дано множество двумерных систем на плоскости,
заданных уравнением x˙ = X(x), где X(x1, x2) — Сr -гладкая (r ≥1) функция, определенная в замкнутой ограниченной области G ⊂ R2.

Определение 7.1. Динамическая система X называется грубой в области G, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что
все системы в δ-окрестности X топологически эквивалентны X;
гомеоморфизм, который устанавливает эту эквивалентность, является ε-близким к тождественному (то есть расстояние между двумя соответствующими точками меньше, чем ε)

При этом δ-окрестность системы X как множество всех систем X1, удовлетворяющих
условию ||X1 − X ||C1 < δ, где
На множестве введена следующая норма : || X || C1 = sup ( ||X || +|| ∂X/ ∂x|| ) .
x∈G





Л.П.Шильников, А.Л.Шильников, Д.В.Тураев, Л.Чуа. Методы качественной теории в нелинейной динамике, часть 2, Москва-Ижевск, 2009

где X ∈ C1 в ограниченной и замкнутой области G

⊂ Rn, границы которой состоят из гладких (n − 1)-мерных поверхностей без контакта с векторным полем, ориентированным внутрь, G.

Следовательно, для любой точки x0 ∈ G положительная полутраектория x(t, x0) определена при любой начальной точке x0.

Определение 7.3. Точка x0 называется блуждающей, если у нее существует такая окрестность U(х), что при некотором T > 0 и всех t >T U(х) ∩ x(t, U) = ∅.
Здесь, как и ранее: x(t, U) = U x(t, ξ).
ξ∈U

Из определения следует, что каждая точка ξ ∈ U также является блуждающей. Поэтому множество всех блуждающих точек открыто. Кроме того, легко видеть, что если точка x0 — блуждающая, то точка x(t, x0) также блуждающая для любого t.
Из открытости множества блуждающих точек вытекает, что его дополнение – множество неблуждающих точек М1 замкнуто.

и поэтому можно повторить процедуру и построить множество M2, состоящее

из неблуждающих точек для системы, ограниченной на M1.

Очевидно, что M2 ⊆ M1. Подобно M1, множество M2 также является компактным инвариантным множеством.

Если M2 = M1, то говорят, что M1 — центр или множество центральных движений. Ситуация в точности такова, когда мы рассматриваем грубые двумерные системы.

В общем случае имеем M1 ⊃ M2 ⊃ ... ⊃ Mk ⊃ ... Если Mk = Mk+1, начиная с некоторого k, тогда Mk также называется центром, а k называется порядковым числом центральных движений.

(P +-устойчивой), если существует такая последовательность tn, где tn →

+∞ при n → +∞, что lim n→+∞ x(tn, x0) = x0. Другими словами, точка x0 является ω-предельной*) точкой своей положительной полутраектории.
Определение точки, устойчивой по Пуассону в отрицательном направлении, аналогично вышеприведенному за исключением того, что tn → −∞. В случае когда точка одновременно P +-устойчива и P −-устойчива, говорят, что она устойчива по Пуассону.

Устойчивые по Пуассону траектории могут быть, в свою очередь, разделены на два типа в зависимости от того, ограничена или нет последовательность {τk(ε)} времен возвращения Пуанкаре P-траектории в ее ε-окрестность. Биркгоф называл траектории первого типа рекуррентными траекториями.

*) Точку х* называют ω – предельной точкой траектории L, если для некоторой
Последовательности {t k}, где t k→∞, lim (t k) = х* при k→∞

Устойчивость по Пуассону

эндоморфизма Т

средней по траектории (т. Биркгофа-Хинчина)
Равенство средней по траектории для Т

среднему по (М, М, μ)
Существование слабого перемешивания – сходимости по Чезаро, т.е. в квадратичной степени
Существование сильного перемешивания
Выполнение ЦПТ –центральной предельной теоремы
Экспоненциальное убывание корреляций

такое, что

|∫(f(Tk x))f(x)dμ(x)|≤ C(f)qk (*)

Группа (Tk ) обладает свойством (эук), если (*)
имеет место для достаточно богатого запаса функций.

тогда и только тогда, когда
(1) не существует состояний равновесия

с характеристическим показателем на мнимой оси;
(2) не существует периодических орбит с мультипликатором на единичной окружности и
(3) не существует сепаратрис, идущих из седла в другое (или то же самое) седло.
Последнее условие может быть переформулировано как отсутствие гомоклинических и гетероклинических траекторий. Из приведенной выше теоремы следует, что грубая система на плос- кости может обладать только грубыми состояниями равновесия (узлами, фокусами и седлами) и грубыми предельными циклами и их конечное число.

Теорема Андронова-Понтрягина

c (X0 - Y0) + c (X1 - Y1),

– P(Q, S)

– сама личность с её ячеистой структурой , E –

психологическая среда, I - информация Движение фокуса психической активности по ячейкам структуры личности есть процесс её самоидентификации и считывания требуемой I

Т

Б

К

О

С

П

σ {ωn} = {ωn+1}

ϖ = {ωn}+∞-∞

Ψ(х) = ϖ = {ωn} ↔ fn х ϵ Еωn ↔ х ϵ ∩n f –n Еωn

₤{Т, Б, К, О, С, П}

i = 1, 2, … n, т.е. тем самым вводим

буквы
ωn некоторого алфавита L.
- Рассмотрим пространства Σ последовательностей
ϖ = {ωn}+∞-∞

Изучаются каскады – дискретные динамические системы (д.д.с.), порождённые сдвигом σ в этих пространствах:
σ {ωn} = {ωn+1}

д.д.с.: {fn ; n ϵ Z},
порождённая отображением
f: Х

Х

Эта система строго детерминирована: задав х0 ,
однозначно получаем траекторию хn = fn х0 , n ϵ Z

Известно: и в социологии и в психологии существует массивное множество показателей, измеряемых в «слабых шкалах», т.е. физически не точно!

{ωn}

регионы, введённые К.Левином, с элементами его конечного покрытия, т.е.

Х =

Ȗi=1 Ei .

Тогда при попадании точки д.д.с. х в Ei автоматически записывается значение i.

т.е. х0 ϵ Еω0 . Спустя

время t образ ft Еω0 множества Еω0 может весьма вытянуть ся и пересекать несколько Еi. , т.е. быть неоднозначным
Это не результат Случая, а в силу неточности задания х.

Регистрация автоматом для всех моментов времени значений ωi порождает отображение ψ: Х → Σ, сопоставляющее точке х последовательность ϖ так, что

Ψ(х) = ϖ = {ωn} ↔ fn х ϵ Еωn ↔ х ϵ ∩n f –n Еωn

Это основная догма символьной динамики

для выделения последовательностей символов разного уровня сложности. Oценка меры

последовательностей μ Qn , выражающих периодические закономерности :

где N1 – число гармоник в описании начального ансамбля (НА), Δω– означает радиус
окрестности около ωi, n – число, начиная с которого усложнение НА тождественно с
лучайному.
U + - характеристическая функция:

U +

2. Синай Я.Г. Современные прблемы эргодической теории. –М.: ФИЗМАТЛИТ, 1995.
3.

Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. –Издательский Дом «Удмуртский университет», Ижевск, 1999
3. Л.П.Шильников, А.Л.Шильников, Д.В.Тураев, Л.Чуа. Методы качественной теории в нелинейной динамике, часть 1,2, Москва-Ижевск, 2004, 2009.
4. В.А. Шведовский, О.В. Шведовский. Тополого-сетевая модель жизненного пространства личности как обобщение гипотезы К.Левина // Математическое моделирование социальных процессов, вып.11, Сб. статей / Под ред. А.П. Михайлова. – М.: МАКС Пресс, 2010.- 176 с.