Стереометрия

(простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии

появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников

называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . 

равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней

— параллелограммы.

основания. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, а все

боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник.

— боковое ребро
P осн — периметр основания
S осн —

площадь основания
S бок— площадь боковой поверхности
S полн — площадь полной поверхности
V — объем прямой призмы

S бок = Pосн * AA1
S полн = 2 * S осн + S бок
V = S осн * H

прямоугольным параллелепипедом. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными

размерами (измерениями).

равные прямоугольники.
– Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной

точке и делятся этой точкой пополам.
– Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: d 2 = a2 + b2+c2
– Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений:
S полн = 2(ab+bc+ac) .
– Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений : V = abc

квадрат. Куб является частный случаем параллелепипеда и призмы, поэтому для

него выполнены все их свойства.

диагональ основания
d — диагональ куба
S полн — площадь полной

поверхности
V — объем куба

P. Тогда фигура, образованная треугольниками A1PA2 , A2 P A3

, …, An P A1 и многоугольником A1A2… An вместе с их внутренними областями называется пирамидой (n-угольной пирамидой). Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание ее высоты — центр этого многоугольника.

ее апофема
P осн — периметр основания пирамиды
S осн — площадь

основания
S бок — площадь боковой поверхности
S полн— площадь полной поверхности
V — объем правильной пирамиды.

от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани

многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней.

Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).

их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней

по параллельным прямым.
Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости α, то она параллельна и самой плоскости α.
Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.

плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой,

лежащая в плоскости грани — сторона сечения.
2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.
3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.

вокруг оси, содержащей его сторону.

основания
S бок — площадь боковой поверхности
S полн — площадь полной

поверхности
V — объем цилиндра

S бок = 2Пrh
S полн= 2Пr2+2Пrh
V = S осн h=Пr2h

треугольника вокруг оси, содержащей его катет.

— образующая
S бок— площадь боковой поверхности
S полн— площадь

полной поверхности
V — объем конуса

вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность

шара.

если она касается обоих оснований цилиндра и каждой его образующей.

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и каждой его образующей.
Сфера называется вписанной в усечённый конус, если она касается обоих оснований конуса и всех его образующих.

и только тогда, когда его высота равна диаметру основания. Причём

центр сферы есть середина оси цилиндра.
Теорема 2: в любой прямой круговой конус можно вписать сферу. Причём центр сферы есть точка пересечения оси конуса с биссектрисой угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.
Теорема 3. в усечённый конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой, и длина его образующей равна сумме длин радиусов оснований. Причём центр сферы есть середина оси усечённого конуса.

оснований лежат на сфере.
Сфера называется описанной около конуса, если

вершина конуса и его основание лежат на сфере.

тогда, когда он прямой круговой. Причём центр сферы есть середина

оси цилиндра.
Теорема 2: около конуса можно описать сферу тогда и только тогда, когда он круговой. Причём центр сферы есть точка пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через центр его, и плоскости, перпендикулярной какой-либо его образующей конуса и проходящей середину этой образующей.
Следствие: сферу можно описать около любого прямого кругового конуса. В этом случае, центр сферы — точка пересечения прямой, содержащей высоту конуса с плоскостью, перпендикулярной какой-либо из его образующих и проходящей через ее середину.

одно его основание лежит на основании конуса, а второе совпадает

с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Конус в этом случае называется описанным вокруг цилиндра.
Цилиндр называется описанным вокруг конуса, если центр одного из оснований цилиндра является вершиной вершина конуса, а противоположное основание цилиндра совпадает с основанием конуса. Конус в этом случае называется вписанным в цилиндр.

описанной около многогранника, если все его вершины лежат на этой

сфере. Многогранник называется в этом случае вписанным в сферу. Возможность описать сферу около многогранника означает существование точки (центра сферы), равноудалённой ото всех вершин многогранника.

перпендикуляр на какое-либо из его рёбер, то основание этого перпендикуляра

разделит ребро на две равные части.
Теорема 2: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какую-либо из его граней, то основание этого перпендикуляра попадёт в центр круга, описанного около соответствующей грани.
Теорема 3: если около многогранника описана сфера, то её центр лежит на пересечении перпендикуляров к каждой грани пирамиды, проведённых через центр окружности, описанной около соответствующей грани.
Теорема 4: если около многогранника описана сфера, то её центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды перпендикулярно к этим рёбрам.

грани касаются этой сферы. Многогранник называется в этом случае описанным

около сферы.