Свойства некоторых аналоговых фильтров

свойства аналогового фильтра определяются передаточной функцией (или функцией передачи) H(s)

где s - комплексное число.
Комплексный коэффициент передачи фильтра и передаточная функция H(s) связаны соотношением.

(1)

коэффициента передачи.

(2)
Свойства фильтра определяются или коэффициентами ai , bi

основного уравнения фильтра,

(3)

или нулями и полюсами zi , pi функции передачи.

вид.

(4)
Передаточная функция, выраженная через нули и полюса,

имеет вид.

(5)

фильтром нижних частот. Передаточная функция этого фильтра не имеет нулей,

а ее полюсы расположены в левой половине эллипса на комплексной s - плоскости.
На рисунке показаны полюсы фильтра Чебышева первого рода 5 – го порядка.

Здесь штрихи обозначают действительную и мнимую части комплексного числа

p .

(7)

Полюсы определяются следующими формулами.

полосе пропускания. Число n определяет порядок фильтра. Легко проверить, что

полюса (6) лежат в комплексной плоскости на эллипсе, уравнение которого имеет вид:

(9)

комплексным коэффициентом передачи K(ω), находим комплексный коэффициент передачи.

(10)

Нормировочный коэффициент k0 выбирается из условия, чтобы АЧХ фильтра в точке ω=0 равнялась единице A(0) = 1.
Простые, но громоздкие вычисления позволяют получить для АЧХ фильтра Чебышева первого рода простую аналитическую формулу.

Чебышева n - го порядка.
Полином Чебышева n -го порядка

определяется следующими формулами.

(12)

формулы (13) найдем некоторые из полиномов Чебышева.

(14)

3, 4.

полиномов Чебышева.
Полиномы Чебышева Tn (x) при изменении аргумента в

интервале -1 ≤ x ≤ 1 имеют колебательный характер. Величина полиномов в этом интервале по модулю не превышает единицы

(15)

Вне интервала -1 ≤ x ≤ 1 полиномы Чебышева неограниченно возрастают по абсолютной величине.

(11) в полосе пропускания колеблется

между значениями и 1.

(16)

Вне полосы пропускания АЧХ фильтра монотонно затухает до нуля.
На рисунке показано такое поведение АЧХ фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка. Для простоты частота среза взята раной единице ω0 = 1.

формулы, как для АЧХ фильтра. Поэтому находить ФЧХ надо в

лоб по формулам (2) и (10).

(17)

Пакет MATLAB имеет утилиты для нахождения АЧХ и ФЧХ фильтров. Необходимо только указать, или коэффициенты ai , bi основного уравнения фильтра, или нули и полюсы zi , pi функции передачи, и MATLAB выполнит все громоздкие вычисления с комплексными числами.

порядка от частоты.

Rp (в децибелах) по следующей формуле.

(18)
Графики АЧХ и ФЧХ,

приведенные на рисунках, получены при уровне пульсации Rp = 0.5 дБ.

фильтр Чебышева первого рода, как фильтр низких частот.
Для

этого вспомним, как выглядит АЧХ идеального фильтра низких частот.

На рисунке показана АЧХ идеального фильтра нижних частот.

Чебышева, мы видим, что частотном спектре имеются три области, на

которые следует обратить внимание.
Во-первых, это полоса пропускания 0 ≤ ω ≤ ω0. У идеального фильтра в этой полосе АЧХ максимально плоская и равная единице. У фильтра Чебышева АЧХ имеет равновеликие пульсации, которые лежат в диапазоне .
Отсюда возникает задача, сделать эти пульсации как можно меньше. Другими словами хорошо бы сделать ε как можно меньшей величиной.

идеального фильтра в этой полосе АЧХ максимально плоская и равная

нулю. У фильтра Чебышева АЧХ имеет вид похожий на АЧХ идеального фильтра только для больших частот. Поэтому полоса задерживания у фильтра Чебышева начинается не с частоты ω0 , а немного дальше с частоты ωS = ω0 +Δω. Для фильтра Чебышева эту частоту можно примерно положить равной ωS = 1.5ω0 . Но и в полосе задерживания ω > ωS АЧХ фильтра Чебышева точно не равна нулю. Отсюда возникает задача, сделать АЧХ фильтра в полосе задерживания как можно ближе к нулю .

задерживания. У идеального фильтра ширина этой полосы равна нулю. АЧХ

идеального фильтра меняется скачком от единицы до нуля в точке ω0. У реальных фильтров ширина переходной области всегда отлична от нуля и равна некоторой величине Δω . Так для фильтра Чебышева ширина полосы перехода примерно равна Δω = 0.5 ω0 . Отсюда возникает задача, сделать переходную область АЧХ фильтра как можно меньше .

пропускания, полоса перехода и полоса задерживания.

приходится одновременно решать три задачи.
1. В полосе пропускания, необходимо сделать

АЧХ фильтра как можно ближе к единице.

(19)

2. В полосе задерживания, необходимо сделать АЧХ фильтра как можно ближе к нулю.

(20)

(21)
Как правило, три условия (19), (20), (21)

противоречат друг другу. Улучшение АЧХ фильтра в одной части спектра приводит к ухудшению АЧХ фильтра в другой части спектра. Поэтому проблема нахождения реального фильтра с оптимальной АЧХ (а также и ФЧХ) остается актуальной и сегодня.

первого рода n-го порядка является оптимальным фильтром, среди фильтров, содержащих

только полюсы, и не имеющих нулей.
Свойство оптимальности фильтра Чебышева первого рода порядка n заключается в том, что не существует другой фильтр n -го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы такие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе задерживания.
Другими словами, если какой-либо фильтр n -го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром Чебышева первого рода порядка n , то в полосе задержки характеристики этого фильтра наверняка будут хуже, чем у фильтра Чебышева.

монотонное изменение АЧХ в полосе пропускания и равновеликие пульсации в

полосе задерживания. Иногда фильтр Чебышева второго рода называют обратным к фильтру Чебышева первого рода.
Это свойство фильтра Чебышева второго рода демонстрируется на рисунке.
На рисунке показано поведение АЧХ фильтра Чебышева второго рода 5-го порядка. Для простоты частота среза взята раной единице ω0 = 1.

полюсы. Она связана с передаточной функцией фильтра Чебышева первого рода

следующим образом.

(22)

Здесь H1(s) и H2(s) - передаточные функции фильтров Чебышева первого и второго рода соответственно.
Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева второго рода p2i и полюсы передаточной функции фильтра Чебышева первого рода p1i связаны простым соотношением:

(23)

друг другу. По этой причине фильтр Чебышева второго рода называют

еще инверсным фильтром Чебышева (inverse Chebyshev filter).

На рисунке показаны полюсы и нули фильтра Чебышева второго рода 5 – го порядка в комплексной s - плоскости.

что все нули являются мнимыми числами и расположены на мнимой

оси.

- параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе задерживания.
На приведенном

выше рисунке была показана АЧХ, рассчитанная по формуле (24).

второго рода ведет себя следующим образом – в полосе пропускания

она монотонно затухает, а в полосе задерживания колеблется между нулем и значением .

пульсаций Rs в полосе задерживания (в децибелах) по следующей формуле.

(26)

В данном примере уровень пульсации в полосе задерживания был выбран в 20 дБ.

полосе задерживания равнялось 0.1

Это и видно на рисунке.

Используя пакет MATLAB, приведем ФЧХ фильтра Чебышева второго рода.
На рисунке показана ФЧХ фильтра Чебышева второго рода 5-го порядка при уровне пульсации в полосе задерживания в 20 дБ.