Тема 3. Математические основы финансово-экономических расчетов при принятии

ссудных процентов.
Простые и сложные учётные ставки.
Эквивалентность процентных ставок различного типа.
Аннуитет.

доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды,

кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Наращение (рост) первоначальной суммы долга - увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).
Множитель (коэффициент) наращения - это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления - промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход).
Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.
Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

(предварительный).
При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления

исходя из величины предоставляемого капитала.
При антисипативном способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления исходя из наращенной суммы.
При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления она применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).

процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления

совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.
Введем следующие обозначения:
i – величина годовой ставки процентов;
I - общая сумма процентных денег за весь период начисления;
P - величина первоначальной денежной суммы;
S - наращенная сумма;
Кн - коэффициент наращения;
n - продолжительность периода начисления в годах;
д - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях.

зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный,

либо обыкновенный (коммерческий) процент.
Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.
Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S - компаудированием.

компаудирование по простой ссудной ставке

- дисконтирование по простой
ссудной ставке

Если продолжительность ссуды менее одного года можно использовать следующую формулы:

эквивалентные и выражая одни величины через другие), получаем еще несколько

формул для определения неизвестных величин в различных случаях

на последо-вательных интервалах начисления

используются ставки процентов ,
то доход кредитора в конце интервала составит: , и т. д. в конце второго интервала:

При N интервалах начисленная наращенная сумма составит:

е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется

к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов.
Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок:

множитель наращения определяют по выражению:

, тогда




где n = nа + nь;
nа - целое число лет;
nь - остaвшаяся дробная часть года.

в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов
j

- годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.
Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:

ссуды.
Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тn

- целое число интервалов начисления, l - часть интервала начисления), то выражение принимает вид:

сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из наращенной суммы. Так как

в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой называется дисконтом.
Пусть теперь
d(%) - простая годовая учетная ставка;
Dг - сумма процентных денег, выплачиваемая за год;
D - общая сумма процентных денег;
S - сумма, которая должна быть возвращена;
Р - сумма, получаемая заемщиком.

е. покупке) векселей и других денежных обязательств.
Из приведенных формул можно

вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:


Компаудирование и дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по следующим формулам:

процентов m раз в году формула имеет следующий вид:

или

При этом mn - целое число интервалов начисления за весь период начисления, l - часть интервала начисления.

такие процентные ставки разного вида, применение которых при различных начальных

условиях дает одинаковые финансовые результаты.
Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается

величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

любыми двумя различными процентными ставками.
Рассмотрим несколько случаев.

последней формуле годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке,

называется эффективной (действительной) ставкой сложных процентов.
Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления.

ставками ссудных процентов имеем:




Аналогичным образом получаем зависимости между любыми

другими эквивалентными процентными ставками.

вкладчику определенный доход через регулярные промежутки времени. Он означает серию

платежей одинаковой суммы, регулярно поступающих через равные промежутки времени в течение определенного числа лет. В основном это вложение капитала в акции, облигации, негосударственные пенсионные фонды, в недвижимость, приносящую доход и др.

где
R – месячный платёж, A – первоначальная сумма кредита, i

– (1/12) процентной ставки, n – количество месяцев.