ТЕМА 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

найти её производную.

Задача интегрального исчисления: найти функцию, зная её производную.

Функция

F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство Fʹ(x) = f(x)

непрерывна на каком- нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную.

множество первообразных.

промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C,

где C∈R.

геометрически.
решение:
1) Исходя из определения первообразной получим:
2)
f(x) =

2x

Fʹ(x) = f(x) 

называется неопределённым интегралом и обозначается символом

, т.е

а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

плюс произвольная постоянная, т.е.:
Доказательство:

функций равен алгебраической суммы (разности) их интегралов, т.е.:
Доказательство: воспользуемся свойством 10.

можно получить таблицу основных интегралов путем обращения формул дифференцирования и

использования свойств неопределенного интеграла
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования u может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменой.

интегралов, при котором они сводятся к табличным путём применения к

ним основных свойств неопределённого интеграла. При этом подынтегральную функцию обычно соответствующим образом преобразуют.

переменной интегрирования (т.е. подстановки ). При этом заданный интеграл приводится

к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае удачной подстановки)

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где

функция имеющая непрерывную производную тогда

На основании инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получим формулу интегрирования подстановкой


Эта формула называется формулой интегрирования заменой переменой в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t к переменой x