Тема 8. Многогранники. Тела вращения

геометрическое тело
грань
ребро
B
вершина
диагональ
грани
диагональ многогранника

ограниченное со всех сторон плоскими
многоугольниками,

называемыми гранями.
Стороны граней называются ребрами
многогранника, а концы ребер — вершинами
многогранника. По числу граней различают
четырехгранники, пятигранники и т. д.

сумма всех плоских углов при любой его вершине всегда меньше

360 градусов

принадлежащие одной вершине прямоугольного параллелепипеда,
дают в сумме 270 градусов

у которых все стороны и углы равны) и все многогранные

углы при вершинах равны.

Пять видов правильных многогранников: 

вершиной пяти треугольников.
Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 270°.

вершиной трех правильных пятиугольников.
Следовательно, сумма плоских углов при каждой

вершине равна 324°.

вершиной четырех треугольников.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 240°.

(? – уточните!) осей симметрии


и 9 плоскостей симметрии.

оси симметрии и
6 плоскостей симметрии.

прямоугольниками.
А
В
С
D
A1
B1
С1
D1
a
b
c

длина, b – ширина,
с – высота, d – диагональ
d
d2

= a2 + b2 + c2

плоскостях, боковые грани – параллелограммы.
Наклонная – боковые грани –

параллелограммы.

H

H1

A

k

F

M

N

P

D

HH1 – высота призмы
AH (k) – боковое ребро призмы
FMNPD – сечение, перпендикулярное боковому ребру

квадраты
H

треугольников (боковые грани), имеющих общую вершину (Р).
Р
А1
А2
А3
Аn
H
РА1; РА2; РА3;

... ; РАn – боковые ребра
А1А2; ... ;А1Аn – ребра основания
РH – высота пирамиды - h

h

основания;
боковые ребра – равны;
боковые грани – равные равнобедренные

треугольники.

H – высота,

h – апофема

H

h

высота,

h – апофема

A
O
B
C
h
H
S
D
a

BC = CD = DA = a (в основании –

квадрат)

H

h

a

a

A

B

D

O

P

К

К – середина DC

C

а – сторона основания

PB1B2…Bn – пирамида
Усеченная пирамида
β
α
P
A1
A2
A3
An
B1
B3
Bn
B2
O
O1
H
B1B2…Bn – верхнее основание
A1A2…An –

нижнее снование
A1B1B2A2; …; AnBnB1A1 – боковые грани – трапеции
A1B1; A2B2; …; AnBn – боковые ребра
OO1= H – высота

(АВС) ⇒ АС ⏊ СС1
АС - проекция АС1 на (АВС)

⇒ САС1 = 45°

АВ = 12 см, ВС = 5 см

2) ∠САС1 = 90°, ∠САС1 = 45° ⇒ ∠СС1А = 45°

ΔАСС1 — прямоуг. и равноб. ⇒ АС = СС1

3) СС1 = ВВ1 = АС

A

D

C

B

A1

D1

C1

B1

 

Ответ: ВВ1 = 13 см

12 см

5 см

45°

45°

Решение:

перпендикулярен отрезку СС1, поэтому проекцией АС1 на плоскость (АВС) является

АС. Отсюда следует, что углом между диагональю АС1 и плоскостью (АВС) является угол САС1, который по условию равен 45 градусов.
2.Рассмотрим треугольник АСС1: угол САС1 прямой, угол САС1 равен 45 градусов. Известно, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, значит угол СС1А так же равен 45 градусам.
Исходя из этого можно сделать вывод, что треугольник АСС1 прямоугольный и равнобедренный, поэтому отрезок АС равен отрезку СС1
3.В параллелепипеде противоположные рёбра равны, значит искомое ребро ВВ1 равно ребру СС1, которое в свою очередь равно отрезку АС.
Из треугольника АВС по теореме Пифагора найдем АС= = = =13см .
АС=ВВ 1=13 см

Задача 1

см
Найти: большую диагональ АВСDА1В1С1D1
1) А1С — большая диагональ
АВСD — ромб
2)

ΔАА1С — прямоугольный

 

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

Ответ: А1С = 26 см

АА1 = 10 см

24 см

10 см

10 см

Решение:

26 см

очередь является проекцией диагонали А1С параллелепипеда (чем больше проекция, тем

больше её наклонная.), значит диагональ А1С искомая.
2. Треугольник АА1С прямоугольный, так как А1 А перпендикулярна плоскости (АСД). По теореме Пифагора найдем А1 С=√АС2+СС12=√242+102=√676=26 см.

Ответ: А1С=26 см

Задача 2

Решение:
1) А1С ⏊ ВС ⇒ ΔА1ВС — прямоуг.
∠AСB = 90°,
 
 
 
 
 
Найти:

Sбок.

 

A

B

C

A1

B1

C1

30°

АС = 5

10

5

5

 

 

анализ:
площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты призмы на

периметр её основания,а это стороны: АС, ВС, АВ и высота АА1.Из условия известна длина только отрезка АС, поэтому прежде чем приступить к решению задачи, необходимо определить недостающие данные, а это ВС, АВ и АА1.

Решение:
1.По теореме о трёх перпендикулярах отрезок А1С перпендикулярен ВС, таким образом треугольник А1ВС прямоугольный.
2.Известно, что катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, значит катет ВС равен половине гипотенузы А1В, то есть равен 5.
3.Теперь нам известна сторона ВС равная 5, АС равна 5 по условию и мы можем найти АВ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС:
АВ=√ВС2+АС2=√52+52=√50=5√2
4.Из прямоугольного треугольника А1 АВ так же по теореме Пифагора находим АА1:
АА1=√А1В2-АВ2=√100-50=5√2
5.Таким образом, все неизвестные величины найдены и мы можем приступить к нахождению площади боковой поверхности призмы
Sбок=АА1(АВ+ВС+АС)=5√2(5√2+5+5)=50+50√2
Общий множитель 50 можно вынести за скобку
Отсюда Sбок=50(1+√2)
Ответ: Sбок=50(1+√2)
 

Задача 3

многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники.
Леонардо да  Винчи (1452 -1519)

например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.
Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу
Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.
 

художник Эшер

факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе

всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.
    Различные геометрические формы находят свое отражение практически во  во всех отраслях знаний:  архитектура,  искусство.
 

Многогранники в архитектуре

как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего

Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.

 ЦАРСКАЯ ГРОБНИЦА

основании из
массивных каменных блоков.
Первая башня была прямоугольной, в

ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты.
Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

корабли могли благополучно миновать рифы на пути в Александрийскую бухту.

Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма.
Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.
 

Александрийский маяк.

тетраэдра.
Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты

также являются тетраэдрами.

Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра.
Метан  горит бесцветным пламенем.
С воздухом образует взрывоопасные смеси.
Используется как топливо.

Сфалерит - сульфид цинка (ZnS).
Кристаллы этого минерала имеют форму тетраэдров, реже –  ромбододекаэдров.

кристаллические решётки
многих металлов (Li, Na, Cr, Pb,

Al, Au, и другие)

Интересно сравнить этот рисунок Леонардо с похожей работой Маурица Эшера,
относящейся к 1952 г., «Ячейки кубического пространства».

Леонардо да Винчи – метод жестких ребер

формула которого    K(AL(SO4)2) * 12H2O.
Они применяются для протравливания тканей, выделки кожи.

Одним из состояний полимерной молекулы углерода, наряду с графитом, является алмаз Алмазы обычно имеют октаэдр в качестве формы огранки.
Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра.
Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму огранки октаэдра, ромбододекаэдра, реже — куба или тетраэдра.

только в клетках человека и приматов.
В книге Дана Уинтера

«Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.