Тема Теория игр

представление игр
4 Решение матричных игр в чистых стратегиях
5 Решение матричных

игр в смешанных стратегиях
6 Игры с природой

социально-экономического явления должна отражать при­сущие ему черты конфликта, т.е. описывать:
а) множество

заинтересованных сторон, именуемых игроками ;
б) возможные действия каждой из сторон, именуемые также стратегиями или ходами;
в) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

Моргенштерном в 1944 г.

Формализация содержательного описания конфликта представ­ляет собой

его математическую модель, которую называют игрой.

двумя, тремя и более участниками. В принципе возможны также игры

с бесконечным числом игроков.
По количеству стратегий - различают конечные, и бесконечные игры.
В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий. Сами стратегии в конечных играх нередко называются чистыми стратегиями (смешанная стратегия в которой все компоненты кроме одной равны 0).
Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий

с нулевой суммой - когда выигрыш одного из игроков равен

проигрышу другого (антагонистическая игра)
игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща.
игры с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков.

называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и

принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях
Некооперативные игры.
Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной.

конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков
Множество стратегий игрока

i обозначим через Хi
В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию xiXi в результате чего складывается набор стратегий х = {x1,x2,.., хп}, называемый ситуацией.

i в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения

его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается через hi(x), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока i называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока Нi

В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы - стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций.

товар обозначить как d(p), то функция выигрыша 1-й фирмы П1(р1,р2)

будет иметь вид



Аналогично выглядит функция выигрыша 2-й фирмы П2(р1,р2)

1, которая обеспечит ему наибольший из возможных выигрышей:

Это значение называется

нижней ценой игры – . Данная стратегия называется максиминной.
Игрок 2 выберет j-ю (минимаксную)

Это значение называется называемого верхней ценой игры– .
В итоге, если Игрок 1 придерживается избранной стратегии (называемой максиминной стратегией), его выигрыш в любом случае составит


Соответственно, если Игрок 2 придерживается своей минимаксной стратегии, его проигрыш будет

2
β = minβj; = min (9; 2; 3; 2) =

2, так что v = α = β = 2

полный набор чистых стратегий, применённых в соответствии с установленным распределением

вероятностей. Доказано, что для всех игр со смешанным расширением существует оптимальная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборе которой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры: hн  V  hв .
При этом условии величина V называется ценой игры.
Для игр без седловых точек оптимальные стратегии игроков находятся в области смешанных стратегий.

продуктов — творожная масса. Необходимо решить, какое количество творожной массы

следует производить в течение месяца, если вероятность того, что спрос составит 100, 150 или 200 кг равна соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Затраты на производство 1 кг равны 1 тыс. ден. ед. Фирма продает массу по цене 1 тыс. 200 ден. ед. за 1 кг. Если масса не продается в течение месяца, то она снимается с реализации и фирма не получает дохода. Дать рекомендации, сколько творожной массы производить фирме.
γ =0,5