Тема урока :

её дифференциалы.
3.Что значит решить ДУ?
Найти такую функцию, подстановка которой в

4. Какое решение ДУ называется общим?

Решение, содержащее произвольную постоянную С.

5. Какое решение ДУ называется частным?

Решение, в которое подставлено числовое значение С.

2. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными?

ДУ первого порядка с разделяющимися переменными?
Уравнение вида
Уравнение вида
8. Какое уравнение

6. Что называется порядком ДУ?

Наивысший порядок производной, входящий в уравнение.

Иоганна Вольтер написал четверостишие:
Его ум видел истину,
Его сердце познало справедливость.
Он

честь Якова.
Закон Бернулли и Интеграл Бернулли в гидродинамике — в

Три поколения Бернулли дали 8 крупных математиков и физиков.

Среди академиков Петербургской Академии наук — пятеро представителей семьи Бернулли.

В честь Якова и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.

вариации произвольной постоянной
Метод подстановки
Линейное

если функция

Замечание. Уравнение называется линейным, так как искомая функция y и её производная y’ входят в это уравнение в первой степени.

Уравнение вида , где и – функции переменной или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка

Линейное ДУ первого порядка называется неоднородным, если функция

порядка, а какие нет и почему?
1) Есть линейное уравнение первого

2)

3)

2) Не является линейным, так как содержит вторую производную

3) Не является линейным, так как содержит

уравнение
Выразить производную функции через дифференциалы
Разделить переменные
Интегрировать
(общее решение)
Решение:

в форме произведения двух сомножителей, причем один из множителей можно

В результате линейное неоднородное ДУ сводиться к двум уравнениям с разделяющимися переменными:

где

и

- новые функции переменной

1. Решить уравнение

Решение:

Положим

тогда

или

произвольности в выборе
(1)
Имеем

получим
(общее решение)
Замечание. Уравнение (1) можно было записать в эквивалентном виде:

находят
2. Используя подстановку
и подставляют эти выражения в уравнение.

3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций

за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство

6. Если требуется найти частное решение , то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

или

При каких условиях линейное ДУ первого порядка называется однородным?
ДУ с

3. К какому ДУ приводится линейное однородное уравнение ?

4. Какими методами решается линейное неоднородное ДУ ?

Методы Бернулли, Лагранжа

5. В чем заключается метод Бернулли?

В подстановке

для линейного ДУ первого порядка