ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 1

напряженности
33.3. Теорема Остроградского-Гаусса
33.4. Дифференциальная форма теоремы3.4. Дифференциальная форма теоремы 3.4.

Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса
33.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского3.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского 3.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского -3.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского - 3.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского - Гаусса
33.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
33.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей
33.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)
33.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком
33.5.5. Поле заряженного пустотелого шара(сферы)
33.5.6. Поле объемного заряженного шара
3.6. Уравнения Пуассона и Лапласа.

обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем.

Она представляет собой более общую формулировку закона Кулона.

Учился в Харьковском ун-те (1816 – 1820), совершенствовал знания в

Париже (1822 – 1827).
Основные работы в области математического анализа, математической физики, теоретической механики. Решил ряд важных задач гидродинамики, теории теплоты, упругости, баллистики, электростатики, в частности задачу распространения волн на поверхности жидкости (1826 г.). Получил дифференциальное уравнение распространения тепла в твердых телах и жидкостях. Известен теоремой Остроградского-Гаусса в электростатике (1828 г.).

физик.

Исследования посвящены многим разделам физики.
В 1832 г. создал

абсолютную систему мер (СГС), введя три основных единицы: единицу времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг.
В 1833 г. совместно с В. Вебером построил первый в Германии электромагнитный телеграф.
Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости распростране­ния электромагнитных взаимодействий. Изу­чал земной магнетизм, изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. – бифилярный. В 1829 г.
Сформулировал принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса).
Один из первых высказал в 1818 г. предположение о возможности существования неевклидовой геометрии.

точке поля совпадает с направлением вектора напряженности

которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное электростатическое

поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга

и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный

заряд.
Т.к.

то густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда

от положительного заряда к отрицательному

площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое

равно модулю вектора напряженности , т.е.

то напряженность изображенного поля будет равна

через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф через эту

поверхность
В векторной форме можно записать

– скалярное произведение двух векторов, где вектор .

от величины угла α может быть как положительным, так и

отрицательным.

поток здесь направлен наружу, т.е.
Поверхность А2 – окружает

отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь.

Общий поток через поверхность А равен нулю.

Опишите второй рисунок самостоятельно.

равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность S.

в однородном поле

В произвольном электрическом поле

заряд q . Окружим

заряд q сферой S1.

R1.
В каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление

внешней нормали одинакова и равна

и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же

величине:


– теорема Гаусса для одного заряда.

Гаусса для нескольких зарядов:
Поток вектора напряженности электрического поля через

замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.

нулю:

замкнутую поверхность S будет равен:

– если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;
– если заряд расположен вне замкнутой поверхности;
этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.

объемной плотностью различной в разных местах пространства:



Здесь dV – физически

бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементарных зарядов электрона или протона .

получить:





– это ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд

неравномерно распределен по объему.

с объемной плотностью . Тогда

к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом

будет стремиться к ρ в данной точке, т.е.


Величину, являющуюся пределом отношения к ΔV, при ,
называют дивергенцией поля Е

. (3.1)

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.
Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат.
В декартовой системе координат

(3.2)
Это

теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.
Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла)

где i, j, k – орты осей (единичные векторы).

в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично

умножается:



дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.

– источники поля
(положительные заряды),

где

– стоки (отрицательные заряды).

Линии напряженности выходят из источников и заканчиваются в стоках.

Остроградского-Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

расположенными симметрично относительно плоскости






Тогда

заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим:


откуда видно, что напряженность

поля плоскости S :
(3.3)

разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ

Тогда внутри плоскостей


Вне плоскостей напряженность поля


Полученный результат справедлив и

для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

пластинами конденсатора показано на рисунке:

поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью




где

dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра

радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси).

т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

По теореме Остроградского-Гаусса

Тогда


Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет.

но разным знаком

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же,

как в п. 3.5.3:

конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров

(цилиндрический конденсатор).

Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда


откуда поле вне

сферы:



Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

же величины, помещенному в центр сферы.

получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е.

справедлива формула:

содержать в себе заряд, равный


где ρ – объемная плотность заряда:

объем шара:

Тогда, по теореме Остроградского-Гаусса:

Т.е., внутри шара имеем

в дифференциальной форме

и дифференциальное соотношение
позволяют получить
следующее: -

уравнение Пуассона ,


где


лапласиан или оператор Лапласа

, то уравнение Пуассона переходит в более простое и называется

- уравнением Лапласа.


Решения уравнений Пуассона и Лапласа единственны при данных граничных условиях.

от координаты x как

Найти распределение объемного заряда




отсюда