Теоретические основы электротехники

основы электротехники»
для учебных групп 21В, 22ВК и 43ППА












Рассмотрены и

обсуждены на заседании цикловой комиссии препода-
телей общетехнических дисциплин. Председатель ЦК А.И.Кейдо

1 Ом,
Е2 = 110 В,

r02 = 2 Ом,
R1 = 3 Ом,
R2 = 6 Ом,
R3 = 21 Ом,
R4 = 16 Ом,
R5 = 19 Ом,
R6 = 16 Ом.

Требуется: 1. Составить по законам Кирхгофа систему уравнений для
определения токов во всех ветвях схемы.
2. Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных
токов.

токи во всех ветвях схемы на основании метода

наложения.
5. Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 4 представить в виде
таблицы и сравнить.
6. Определить ток во второй ветви методом эквивалентного
генератора.
7. Построить потенциальную диаграмму для любого контура,
включающего обе ЭДС.

определения токов во всех ветвях схемы
Обозначаем токи

ветвей и принимаем их направления на схеме, также
обозначаем узлы схемы.
В приведенной схеме 4 узла, значит
по первому закону Кирхгофа нужно
составить 3 уравнения:
Узел 1: I1 + I4 – I3 = 0.
Узел 2: I3 – I2 – I5 = 0.
Узел 3: I5 + I6 – I1 = 0.
Всего в схеме 6 ветвей и 6 неизвес-
тных токов – поэтому необходимо
составить шесть уравнений.

определения токов во всех ветвях схемы

Недостающие 3 уравнения составляем по
второму закону Кирхгофа.
Для первого контура выберем обход по часовой
стрелке:
Е1 = I1(R1 + r01) + I5R5 + I3R3.
Для второго контура обход выберем против
часовой стрелки:
Е2 = I2(R2 + r02) + I4R4 + I3R3.
Для третьего контура направление обхода выберем по часовой стрелке:
Е2 = I2(R2 + r02) – I5R5 +I6R6.

определения токов во всех ветвях схемы
В результате получили систему

из шести уравнений с шестью неизвестными токами:
I1 + I4 – I3 = 0
I3 – I2 – I5 = 0
I5 + I6 – I1 = 0
Е1 = I1(R1 + r01) + I5R5 + I3R3
Е2 = I2(R2 + r02) + I4R4 + I3R3
Е2 = I2(R2 + r02) – I5R5 +I6R6

Решив полученную систему уравнений можно определить токи во всех ветвях схемы.

контурных
токов
На схеме выбираем направления контурных токов I11, I22, I33,

направ- ления обхода контуров оставляем такими же как и направления токов.
Составляем уравнения для контурных
токов по второму закону Кирхгофа:
-Е1 = I11(R1 + r01 + R3 + R5) -I22R3 - I33R5
E2 = -I11R3 + I22(R2 + r02 + R3 + R4) - I33(R2 + r02)
-E2 = -I11R5 - I22(R2 + r02) + I33(R2 + r02 + R5 + R6)
В полученную систему уравнений
подставляем численные значения ЭДС и
сопротивлений.

контурных
токов

-130 = I11•(3 +1+21+19) - I22•21 - I33•19
110 = -I11•21 + I22•(6+2+21+16) - I33•(6+2)
-110 = -I11•19 - I22•(6+2) + I33•(6+2+19+16)
Выполнив сложения в скобках получим
следующую систему уравнений:
-130 = 44I11 – 21I22 – 19I33
110 = -21I11+ 45I22 – 8I33
-110 = -19I11 – 8I22 + 43I33
Решим полученную систему уравнений с помощью определителей.

контурных
токов
Вычисляем главный определитель системы

44 -21 -19
 = -21 45 -8 = 44•45•43 + (-21)•(-8)•(-19) +
-19 -8 43 + (-19)•(-8)•(-21) – (-19)•45•(-19) –
- (-8)•(-8)•44 – 43•(-21)•(-21) = 40732
Вычисляем частные определители:
-130 -21 -19
11 = 110 45 -8 =(-130)•45•43 + (-21)(-8)(-110)+
-110 -8 43 +(-19)(-8)•110 – (-110)•45•(-19) –
- (-8)(-8)(-130) – 43•110(-21) = -239710

контурных
токов
Вычисляем частные определители для контурных токов второго и третьего

контуров:
44 -130 -19
22 = -21 110 -8 = 44•110•43 + (-130)(-8)(-19)+
-19 -110 43 + (-19)(-110)(-21) – (-19)•110•(-19) -
– (-110)(-8)•44 – 43•(-21)(-130) = -51390
44 -21 -130
33 = -21 45 110 = 44•45•(-110) + (-21)110(-19) +
-19 -8 -110 + (-130)(-8)(-21) – (-19)45(-130) -
- (-8)110•44 – (-110)(-21)(-21) = - 219670

контурных токов

Определяем контурные токи:
I11 = 11 / = -239710 / 40732 = -5,885 A,
I22 = 22 / = -51390 / 40732 = -1,262 A,
I33 = 33 / = -219670 / 40732 = -5,393 A.
Определяем токи ветвей
I1 = -I11 = 5,885 A,
I2 = I22 – I33 = -1,262 - (-5,393) = 4,131 A,
I3 = I22 – I11 = -1,262 - (-5,885) = 4,623 A,
I4 = I22 = -1,262 A,
I5 = I33 – I11 = -5,393 - (-5,885) = 0,493 A,
I6 = -I33 = 5,393 A.

Cоставим баланс мощности
Мощность источников:
Ри = Е1 • I1 + E2 • I2 = 130 • 5,885 + 110 • 4,131 =
= 1219,46 Вт.
Мощность приемников:
Р = I1²(R1 + r01) + I2²(R2 + r02) + I3²R3 + I4²R4 + I5²R5 +
+ I6²R6 =
= 5,885² • (3 + 1) + 4,131² • (6 + 2) + 4,623² • 21 + (-1,262)² • 16 +
+ 0,493² • 19 + 5,393² • 16 = 1219,32 Вт.
Таким образом, Ри = 1219,46 Вт  Р = 1219,32 Вт – баланс мощности подтверждается – ошибка в расчетах составляет:
(Ри – Р) / Ри = (1219,46 – 1219,32) / 1219,46 = 0,000115•100% = 0,0115%.

основании метода наложения
Определим частичные токи ветвей под действием источника

Е1.
Для этого исключим из схемы источник Е2, а вместо его оставим внутреннее сопротивление источника r02. Нанесем на схеме частичные токи от ЭДС Е1 и обозначим их с одним штрихом (I). Решаем задачу методом
«свертывания», но для этого предва-
рительно заменим звезду сопротивле-
ний R4 – R6 – R202 треугольником.
Определим сопротивления сторон
треугольника:
R4202 = R4 + R202 + R4 • R202 / R6 =
= 16 + (6+2) + 16 • (6+2) / 16 = 32 Ом,
R6202 = R6 + R202 + R6 • R202 / R4 =
= 16 + (6+2) + 16 • (6+2) / 16 = 32 Ом,

основании метода
наложения

R46 = R4 + R6 + R4 • R6 / R202 =
= 16 + 16 + 16 • 16 / (6+2) = 64 Ом.
Определим эквивалентные сопротивле-
ния параллельно соединенных резисторов:
R34202 = R3 • R4202 / (R3 + R4202) =
= 21 • 32 / (21 + 32) = 12,679 Ом,
R56202 = R5 • R6202 / (R5 + R6202) =
= 19 • 32 / (19 + 32) = 11,922 Ом.
Определим сопротивление последовательно соединенных резисторов
R3546202 = R34202 + R56202 = 12,679 + 11,922 = 24,601 Ом.
Определим эквивалентное сопротивление относительно первой ветви
R1-3 = R3546202 • R46 / (R3546202 + R46) = 24,601 • 64 / (24,601 + 64) = 17,77Ом.

основании метода
наложения
Определим частичный ток в первое ветви

I1 = E1 / (R1-3 + R1 + r01) = 130 / (17,77 + 3 + 1) = 5,972 A.
Определим ток в последовательном участке
I35-46 = I1 • R46 / (R3546202 + R46) =
= 5,972 • 64 / (24,601 + 64) = 4,314 A.
Определим частичные токи в третьем и пятом
резисторах
I3=I35-46•R4202/(R3+R4202)=4,314•32/(21+32)=2,605 А,
I5=I35-46•R6202/(R5+R6202)=4,314•32/(19+32)=2,707 А.
Для определения частичных токов в остальных ветвях схемы с источником Е1 вернемся к исходной схеме с этим источником.

основании метода
наложения

Определим частичные токи во второй,
четвертой и шестой ветвях на основании
первого закона Кирхгофа:
I4 = I1 – I3 = 5,972 – 2,605 = 3,367 A,
I6 = I1 – I5 = 5,972 – 2,707 = 3,265 A,
I2 = I3 – I5 = 2,605 – 2,707 = -0,102 A.
Для определения частичных токов от
действия источника Е2 исключаем из схемы
источник Е1, вместо него включаем
внутреннее сопротивление и частичные
токи обозначаем с двумя штрихами.

основании метода
наложения

Частичные токи определяем методом «сворачивания»
схемы, но предварительно треугольник сопротивлений
(R1+r01), R3, R5 заменяем эквивалентной звездой.
Тогда схема будет иметь вид.
Определим сопротивления лучей звезды:
R3101 = R3 • R101 / (R3 + R101 + R5) =
= 21 • (3+1) / (21 + 3 + 1 + 19) = 1,909 Ом,
R5101 = R5 • R101 / (R3 + R101 + R5) =
= 19 • (3+1) / (21 + 3 + 1 + 19) = 1,727 Ом,
R35 = R3 • R5 / (R3 + R101 + R5) =
= 21 • 19 / (21 + 3 + 1 + 19) = 9,068 Ом.

основании метода
наложения
Определим эквивалентное сопротивление цепи относительно источника Е2:
Rэ =

(R3101 + R4) • (R5101 + R6) / (R3101 + R4 + R5101 + R6) + R35 + R2 =
= (1,909 + 16) • (1,727 + 16) / (1,909 + 16 + 1,727 + 16) + 9,068 + 6 = 23,977 Ом.
Определим ток в ветви с источником
I2 = E2 / (Rэ + r02) = 110 / (23,977 + 2) = 4,235 А.
Определим токи в четвертой и шестой ветвях
I4 = I2 • (R5101 + R6) / (R3101 + R4 + R5101 + R6) =
= 4,235 • (1,727 + 16) / (1,909 + 16 + 1,727 + 16) = 2,107 A
I6 = I2 • (R3101 + R4) / (R3101 + R4 + R5101 + R6) =
= 4,235 • (1,909 + 16) / (1,909 + 16 + 1,727 + 16) = 2,128 A
Для определения токов в первой, третьей и пятой ветвях возвращаемся к исходной схеме с источником Е2.

основании метода
наложения

Определим потенциалы первого и третьего узлов,
принимая потенциал четвертого узла равным нулю:
1 = -I4 • R4 = -2,107 • 16 = -33,712 B,
3 = -I6 • R6 = -2,128 • 16 = -34,048 B.
Определим напряжение между третьим и первым узлами:
U31 = 3 - 1 = -34,048 – (-33,712) = -0,336 B.
Определим частичный ток в первой ветви при действии источника Е2
I1 = U31 / (R1 + r01) = -0,336 / (3 + 1) = -0,084 A.
Для определения токов в третьей и пятой ветвях воспользуемся первым законом Кирхгофа: I3 = I1 + I4 = -0,084 + 2,107 = 2,023 A,
I5 = I6 - I1 = 2,128 – (-0,084) = 2,212 A.

основании метода
наложения






Определяем токи ветвей:
I1 = I1 + I1 =

5,972 – 0,084 = 5,888 А, I2 = I2 + I2 = -0,102 + 4,235 = 4,133 А,
I3 = I3 + I3 = 2,605 + 2,023 = 4,628 А, I4 = I4 - I4 = 2,107 – 3,367 = -1,26 А,
I5 = I5 - I5 = 2,707 – 2,212 = 0,495 А, I6 = I6 + I6 = 3,265 +2,128 = 5,393 А.

4 представить в виде
таблицы и сравнить
Метод расчёта
Ток

в ветви

генератора

Для определения эквивалентной ЭДС Еэ или напряже-
ния холостого хода Uо исключаем во второй ветви резис-
тор R2, оставляем ветвь разомкнутой с зажимами а и б и
определяем напряжение между этими зажимами, которое
и называется напряжением холостого хода.
Для определения Uо рассчитаем токи I01, I05 и I06
R3546 = (R3 + R5) • (R4 + R6) / (R3 + R5 + R4 + R6) =
= (21 + 19)•(16 + 16) / (21 + 19 + 16 + 16) = 17,778 Ом,
I01 = Е1 / (R3546 + R1 +r01) =130/(17,778+3+1)=5,969 A
I05 = I01 • (R4 + R6) / (R3 + R5 + R4 + R6) =
= 5,969 • (16 + 16) / (21 + 19 + 16 + 16) = 2,653 A,
I06 = I01 • (R3 + R5) / (R3 + R5 + R4 + R6) =
= 5,969 • (21 + 19) / (21 + 19 + 16 + 16) = 3,316 A.

генератора

Eэ = Uo = a - б = Е2 - I06•R6 + I05•R5 =
= 110 - 3,316 • 16 + 2,653 • 19 = 107,351 B.
Для определения сопротивления эквивалентного
генератора исключаем источник Е1, вместо источника
устанавливаем его внутреннее сопротивление. Преоб-
разуем треугольник сопротивлений 1-2-3-1 в звезду и
получим схему, параметры ко-
торой определены в пункте 4:
R3101 = 1,909 Ом,
R35 = 9,068 Ом,
R5101 = 1,727 Ом.

E2

генератора

Тогда сопротивление эквивалентного генератора
составит:
rэ = (R3101 + R4)•(R5101 + R6)/(R3101 + R4 + R5101 + R6) + R35 +
+ r02 = (1,909+16)•(1,727+16)/(1,909+16+1,727+16) +
+ 9,068 + 2 = 19,977 Ом.
Определяем ток во второй ветви схемы:
I2 = Eэ / (rэ + R2) = 107,351 / (19,977 + 6) = 4,133 А.
Таким образом, при расчете методом эквивалентного
генератора ток во второй ветви получился таким же, как и
при расчете методом контурных токов и методом
наложения.

E2

включающего обе ЭДС
Для построения потенциальной диаграммы выбираем контур с двумя

источниками питания. Такому условию соответствует контур, отмеченный на ниж-
нем рисунке.
Выбираем в качестве начального узел 1 и придаем ему
потенциал, равный нулю. Для расчета потенциалов осталь-
ных точек обходим контур по часовой стрелке. Тогда:
1 = 0,
4 = 1 + I4 • R4 = 0 + (-1,262 • 16) = -20,2 B,
5 = 4 + I2 • R2 = -20,2 + 4,131 • 6 = 4,6 B,
2 = 5 - E2 + I2• r02 = 4,6 - 110 + 4,131 • 2 = -97,1 B,
3 = 2 – I5• R5 = -97,1 – 0,493 • 19 = -106,5 B,
6 = 3 + E1 – I1 • r01 = -106,5 + 130 – 5,885 • 1 = 17,6 B,
1 = 6 – I1 • R1 = 17,6 – 5,885 • 3 = -0,06 B – проверочная
точка.

включающего обе ЭДС
По полученным данным строим для контура потенциальную диаграмму

- зависимость потенциалов точек от сопротивлений участков контура.

– «а»,
НЭ2 – «б».

на всех участках цепи.

Р е ш е н и е
1.

Расчет цепи производим графическим методом. Для этого в общей системе координат (U,I) строим заданные вольт-амперные характеристики нелинейных элементов (НЭ1 и НЭ2).
Для построения характеристик принимаем масштабы:
Для напряжений Mu = 25 B/cм.
Для токов MI = 1 A/cм.
Для построения вольт-амперной характеристики линейного элемента (R3) определим координаты одной из точек характеристики. Пусть абсциссой этой точки будет U = 160 B. Тогда ордината этой точки составит:
I = U / R3 = 160 / 32 = 5 A.

точку с началом координат, получим вольт-амперную характеристику линейного элемента.

и НЭ2 соединены последовательно, то задаваясь токами в них, складываем

напряжения на этих участках и получаем ряд точек, по которым строим ВАХ I23 = f(U23) – это есть общая ВАХ последовательно соединенных двух элементов R3 и НЭ2.

элементы соединены параллельно, то для построения для них общей ВАХ

задаемся значениями напряжения и складываем токи. Соединив полученные точки, получим ВАХ всей цепи - I = f(U).

напряжение на всех элементах цепи поступим так: по оси напряжение

находим напряжение равное 200 В (точка а). Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с ВАХ I1=f (U1), получаем точку "в". Из точки "в" опустим перпендикуляр на ось тока и получим точку "о". Это получим ток в НЭ1 - Iнэ1=5,2А.

пересечение с ВАХ I23=f (U23) и опустим его на ось

тока (точка д), получим ток во второй ветви I3, НЭ2. I3=IНЭ2=3А. Отрезке "нд" пересекает ВАХ I3=f (U3) и I2=f (U2) в точках "з" и "г", опустим там перпендикуляры мы получим напряжение на элементах R3 (U3=95В) и (нэ2) (Uнэ2=105В). I = 8,2 A.

Исходные данные:

Схема электрической цепи
Uл = 380 B,
RAB = 19 Ом, XCAB = 11 Ом,
RBC = 12 Ом, XLBC = 16 Ом,
RCA = 22 Ом.

Требуется определить:
1. Фазные токи.
2. Линейные токи.
3. Угол сдвига фаз между током и напряжением в каждой фазе.
4. Активную, реактивную и полную мощности каждой фазы и всей трехфазной цепи.
5. Начертить в масштабе векторную диаграмму трехфазной цепи.

трехфазной цепи применим символический метод.
1. При соединении нагрузки треугольником модули

фазных напряжений равны линейным напряжениям:
Uф = Uл = 380 B, то есть UAB = UBC = UCA = 380 B.
2. Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор фазного напряжения UАВ совпадает с действительной осью комплексной плоскости:

комплексы фазных напряжений:

где ZAB = 22 Ом, АВ = -30,

где

ZBC = 20 Ом, ВС = 53,

Где ZCA = 22 Ом, СА = 0.
4. Находим комплексы фазных токов

комплексы фазных токов


модуль IAB = 17,27 A, AB = 30,


модуль

IВС = 19 A, BC = -173,


модуль ICA = 17,27 A, СА = 120.

линейные токи из уравнений , записанных по первому закону Кирхгофа

для узлов А, В, С:

каждой фазы и всей цепи

в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.
Выбираем масштабы напряжений и

токов:
Mu = 100 B/cм, Mi = 4 A/cм.
Векторы фазных токов IAB, IBC, ICA строим под углами АВ, ВС, СА к действительной оси.
К концам векторов IAB, IBC, ICA пристраиваем отрицательные фазные токи согласно уравнениям: Замыкающие векторные
треугольники векторов IAB, IBC, ICA
представляют в выбранном
масштабе линейные токи.

Схема электрической цепи

R1

= 10 Ом, R2 = 20 Ом,
L1 = 38 мГн, L2 = 25 мГн,
C1 = 45 мкФ, C2 = 198 мкФ,
Um = 65 B, u = 45,
f = 50 Гц.

Требуется
1. Определить токи отдельных участков цепи.
2. Написать уравнение изменения тока источника питания цепи.
3. Составить баланс мощности.
4. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.