Теоретические основы метода сеток

системы конечно-разностных уравнений
Погрешность аппроксимации
Оценка погрешности решения

получают в виде достаточно подробной таблицы значений искомого решения в

узлах сетки, покрывающей область определения решения.
Получаемая таблица должна обладать свойством аппроксимации, т.е. возможностью восстановления всех значений искомого точного решения с заданной погрешностью.
Будем иллюстрировать реализацию метода сеток на решении простейшей одномерной краевой задачи Дирихле



В общем случае

Г - граница многомерной области Ω, внутри которой необходимо получить решение. В рассматриваемом частном случае Ω представляет собой отрезок

области Ω.
Множество таких узлов будем обозначать
Одномерный случай

Шаг сетки

Одномерная сетка

Двухмерная



при

узлы сетки покрывают все точки Ω, а при конечном h таблица должна обладать хорошими аппроксимационными свойствами

узлах выбранной сетки


дифференциальное уравнение

заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения искомой функции в соседних узлах.
Такая система алгебраических уравнений называется конечно-разностной схемой
Обозначим



Имеется много способов получения конечно-разностной схемы

непересекающиеся подобласти, в центре каждой из которых имеется узел сетки:


Проинтегрируем:


Обозначим

xi

Xi-1/2

Xi+1/2

Xi-1

Xi+1

того что матрица ленточная, формулы преобразования просты и эффективны при

вычислениях

1 вычисляем


Условие устойчивости

et(i)=(d(i)-a(i)*et(i-1))/z;
end;
u(N1)=be1;
For i=N:-1:1
u(i)=ks(i)*u(i+1)+et(i);
End;
Plot(x,u1);

называемая погрешность аппроксимации конечно-разностной схемой дифференциального уравнения
подставим в конечно-разностную схему

вместо значения точного решения .
Ввиду того, что , после такой подстановки получается невязка

Погрешность аппроксимации

Основное требование: при

Ассимптотическая оценка

Порядок погрешности аппроксимации = p

в ряд Тейлора:
Рассмотрим нашу простейшую конечноразностную схему

решению
кроме

необходима


устойчивость к ошибкам округления

Основная теорема