Теория игр

в конфликтных ситуациях.
Конфликтные ситуации – если сталкиваются интересы двух

или более лиц преследующих противоположные цели.

– игрок j = 1,n
А имеет m стратегий
В

имеет n стратегий

aij
α = max ai; α = max

ai из min aij.
α – нижняя цена игры. Игрок должен придерживаться стратегии max- min (максимином)
α гарантирует минимум, который можно получить придерживаясь максиминной стратегии.

bj = max aij ; βj = min bj ; βj = min max aij
β – верхняя цена игры Это минимаксная стратегия.
Когда α = β, то система устойчива.

устойчива
0.7 –это чистая цена игры

цена игры;
игры с седловой точкой; игры с полной информацией

(противники знают все ходы).
Такие игры являются устойчивыми.
.
α ≠ β
α ≤ γ ≤β
α – нижняя цена игры
β – верхняя цена игры
Случайная величина, значением которой является стратегия игрока, называется смешанной стратегией.

=1
Игрок B – n стратегий
q1, q2, ……, qn
∑ qj =1

P = (p1, p2, ……, pm)
Q = (q1, q2, ……., qn)
H(P,Q) = ∑ ∑ aij pi qj – математич.ожид-ие выигрыша игрока А в смеш.стратегии

– решение
V

2(1-p)
W2 = 4p – (1-p)
W3 = 3p – (1-p)
W4 =

p
W5 = -p – 5(1-p)
W6 = 4(1-p)

Игра 2 х 6

5p
p = -6p +5
7p = 5
p* = 5/7
p* = p1,

4 – 5

P1=5/7; p2=2/7

V =5/7

А3, А4, предназначенных для стрельбы по самолетам. Известны типы самолетов

противника В1,В2,В3,В4,В5. Вероятность поражения самолета противника при применении каждого типа вооружения задана матрицей.

надо заказывать вооружение различных типов.
Решение. Замечаем, что стратегия А1 заведомо

невыгодна по сравнению с А2; стратеги же А2 заведомо невыгодна по сравнению с А3; игра сводится к игре 2 х 5 с матрицей

А2; стратеги же А2 заведомо невыгодна по сравнению с А3;

игра сводится к игре 2 х 5 с матрицей

Далее, замечаем, что стратегия В3 для противника явно невыгодна по сравнению с В2, а В2 – по по сравнению с В4.

v=0.45
Т.о., принимаем рекомендации: не заказывать вовсе образцов А1 и

А2, а образцы А3, А4 заказывать в пропорции 5 : 1. При этом вероятность поражения самолета противника буден не ниже 0.45

v

А3

А4

… ,Аm, а П1, П2, … ,Пn – «стратегии природы».

Может показаться, что при наличии природы задача проще, так как нет противодействия. Но при наличии сознательного противника у нас как бы снимается неопределенность.
В данной ситуации (при играх с природой) неопределенность сказывается в гораздо более сильной степени.
В игре против разумного противника мы можем отбросить за него какие то невыгодные для него стратегии Вj.
В игре против природы этого делать нельзя.
В игре против природы рекомендуется использовать понятие «риска».
Риском наз.разность между выигрышем, который получил бы А, если бы знал Пj, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию Аi.
Риск: rij =bj – aij , где bj = max aij,,

Ожидаемая прибыль задана матрицей выигрышей.
Матрица выигрышей.
Здесь а21=а24=3. Однако эти выигрыши

неравноценны. Так, если природа будет П1, можно выиграть самое большее всего 4, и выбор А2 почти хорош, а вот при состоянии П4 лучше А1, а А2 совсем плох.

Матрица риска.
Видно, что А2 совсем плох, так как r21=1, r24=6

когда известны вероятности состояний природы: qi=P(Пi).
В этом случае

среднее значение: ai*=q1 х ai1+q2 х ai2+ … + qn х ain
Пример. Планируется операция в заранее неизвестных метеорологических условиях. Известны вероятности.

Видно. Оптимальной стратегией игрока является его стратегия А*=А1, дающая среднтй выигрыш 5.2

х 3. Найти оптимальное решение.

выигрыш. Из величин ai оптимальное значение 0.25.
Оптимальная стратегия А3

А2, А3

в правых трех столбцах матрицы пессимистическую оценку выигрыша ai, оптимистическую

wi и их среднее взвешенное по формуле hi=0.6ai + 0.4wi
Здесь 0.6 легкий перевес в сторону пессимизма.

Оптимальная стратегия А3

состояния погоды.
В условиях теплой погоды предприятие реализует
1000 костюмов

и 2300 платьев,
а при прохладной погоде - 1400 костюмов и 700 платьев.
Затраты на изготовление одного костюма равны 20, а платья - 5 рублям, цена реализации соответственно равна 40 рублей и 12 рублей.
Определить оптимальную стратегию предприятия.

спроса фирма располагает двумя стратегиями:
1. F1 = (1000, 2300)

– произвести 1000 костюмов и 2300 платьев, 2. F2 = (1400, 700) - произвести 1400 костюмов и 700 платьев.

Природа (рынок) располагает также двумя стратегиями:
1. D1 = погода теплая,
2. D2 = погода прохладная.

в состоянии D2 (погода прохладная), то платья будут реализованы лишь

частично, и доход составит:
w12 = 1000*(40-20) + 700*(12-5) – (2300-700)*5= 16900.

3.Аналогично, если фирма выберет стратегию F2,
а природа – стратегию D1 (погода теплая), то доход составит (будут недораспроданы костюмы):
w21 =1000*(40-20) + 700*(12-5) – (1400-1000)*20= 16900,

4. Если природа выберет стратегию D2, то
w22 = 1400*(40-20) + 700*(12-5) = 32900.

1. Если фирма примет стратегию F1 и спрос действительно будет находиться в первом состоянии, то есть погода будет теплой (D1), то выпущенная продукция будет полностью реализована и доход составит w11 =1000*(40-20) + 2300*(12-5) = 36100

матрицу игры

36100 16900

16900 32900


которая будет служить игровой моделью задачи.

Поскольку максиминная стратегия игры составляет
a = max (16900, 16900) = 16900,
а минимаксная
b = min (36100, 3290) = 32900,
то цена игры лежит в диапазоне 16900 ден. ед. < v < 32900 ден.ед.

Thank

you