Теория множеств

математик,
философ и общественный деятель

французский математик и политический деятель.

определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления

(которые будут называться «элементами» множества M).
(Г. Кантор).
Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.
(Б. Расселл)
Каждый сам знает, что он понимает под множеством.
(Э. Борель)

мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х).
Обозначение
Указанием

определяющего свойства
Перечислением элементов

Пример 1



Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так,
N={1,2,3,...,n,...}
Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

(

)
Обозначение:

Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 2
Для любых множеств А, В, С верно следующее:
а) ;
б) и .

из одних и тех же элементов (A=В). Другими словами, обозначение

А=В служит сокращением для высказывания
.
Пример
Указать равные множества
A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0},
E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}.
Теорема 4
Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда
и
Доказательство
Доказательство этого факта основано на том, что эквивалентность равносильна конъюнкции двух импликаций

и только тогда, когда

и .
Теорема 6
Для любых множеств А, В, С, если и , то
Определение 7
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х).
Обозначение: .

называется множество




Пример
Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда

= {1,2,3,4,6,8}.

A

B

– идемпотентность объединения;
б)   – коммутативность объединения;
в)   – ассоциативность объединения;
г) ;
д)

Пример
Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда

A

B

- идемпотентность

пересечения;
б) - коммутативность пересечения;
в) - ассоциативность пересечения;
г)

Пересечение множеств

B называется множество

.








Пример
Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10}, B\A={2,5,6}.

A

B

(законы Моргана)
а)

б)

Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами. Понятие "универсального множества" у нас будет зависеть от круга задач, которые мы рассматриваем. Довольно часто под универсальным множеством понимают множество R –– множество вещественных чисел или множество С – комплексных чисел. Возможны и другие примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что мы понимаем под универсальным множеством U.

(или просто дополнением А) называется множество .








Пример
Если U – множество вещественных

чисел и А – множество рациональных чисел, то  – множество иррациональных чисел

A

;
б) .

(3 балла).
Доказать, что




A
B

в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в

качестве элемента?

кто сам не бреется, и не брить того, кто сам

бреется», как он должен поступить с собой?
Парадокс Мэра:
В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров?
Парадокс библиотеки:
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Дано
U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11},
A={1;2;3;7;9},
B={3;4;5;6;10;11},
C={2;3;4;7;8},
D={1;7;11}.
Вычислить

множества
1)

2)

3)

4)

5)

8,9},
A={1, 2, 3, 5},
B={2, 4, 6, 8},
C={1, 3, 5, 7},
D={4,

5, 7, 8}.
Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества.
{1,2,3,4,5,7,8}=

{4,7,8}=

{2,5,6,7}=

{2,5}=

{5,7,9}=

{4,5}=
Невозможно выразить через данные множества, так как элементы 4 и 8
одновременно принадлежат или не принадлежат данным множествам.

помощью кругов Эйлера следующие множества:


1)








2)

двухэлементное множество,
состоящее из элементов а и b, в котором

зафиксирован порядок расположения
элементов. Отметим два характерных свойства упорядоченных пар:

1) если

2)

Определение 1
Декартовым произведением множеств А и В называется множество

Пример
Пусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогда
{(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)};
{(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}.
Очевидно, что, вообще говоря,

- (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества А;

Пример

Пусть , ,

Тогда

, где R-

множество действительных чисел,
описывает множество всех точек декартовой плоскости

Решение

В – из n элементов, тогда состоит из

mn элементов.
Доказательство
ММИ по числу элементов множества B.
n=1.
то есть AB имеет m=m*1 элементов.
2) Допустим, что теорема верна при n=k.
3) И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть

где

Тогда , где

поэтому множество АВ состоит из mk+m=m(k+1) элементов.