ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ C ООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТОБРАЖЕНИЯ

ХНУРЭ
Лектор – д.т.н., проф. Хаханов Владимир Иванович
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 2

соответствий для применения в задачах компьютерной инженерии
Содержание:
Понятие упорядоченной

пары и вектора
Декартово произведение множеств
Определение соответствия
Свойства соответствий
Взаимно-однозначное соответствие
Функции
Отображения
Примеры применения в теории кодирования и задачах диагностирования

Тема: Соответствия. Функции. Отображения

9-12.
Тевяшев А.Д., Гусарова И.Г. Основы дискретной математики в примерах

и задачах. Харьков: ХТУРЭ, 2001. С. 11-17.
Бондаренко М.Ф., Белоус Н.В., Руткас А.Г. Компьютерная дискретная математика. – Харьков: СМИТ, 2004. – 480 с.
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 4-10 с.
Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. М.: Энергия, 1980. 344 с.
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. С.-П., 2001. С. 4-24.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. 87с.
Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Дискретная математика. Электронный учебник. ХНУРЭ: Электронная библиотека кафедры АПВТ (ауд. 320) NSERV\Library\Чумаченко\Дискретная математика\...

сюръективность
инъективность
функциональность
биекция (взаимная однозначность)
Базовые понятия:

множество

упорядоченная пара
подмножество

упорядоченной парой следует понимать двухэлементное упорядоченное множество
Вектор (кортеж) представляет собой

упорядоченный набор элементов
х = (х1, х2, …, хn), где хi – координаты (компоненты)
Длина (размерность) вектора определяется количеством его координат

Основные понятия: упорядоченная пара, вектор

• Точка

Информация

Упорядоченная пара

Множество

если их соответствующие компоненты равны:
x=y  i xi=yi

Def: проекцией

вектора х=(х1, х2, …, хn) на i-ю ось называется его i-й компонент Pr i x = хi

Def: пусть V – множество векторов одинаковой длины, тогда проекцией множества V на i-ю ось называется множество проекций всех векторов из V:

абсцисса, на второй – ордината. Они являются проекциями на первую

и вторую оси соответственно
Дано множество V векторов размерности 3:
V = { (a,b,c), (c,b,d), (b,b,d) }
Найти проекции множества V на оси

Примеры

Pr1V={a,c,b}
Pr2V={b}
Pr3V={c,d}

B есть множество всех упорядоченных пар (a,b) таких, что aA,

bB:
AB={ (a,b) | aA, bB }
Примеры
1. Декартово произведение множеств А={1,2}, B={3,4,5} есть
АB = { (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5) }
2. A={1,2,3,4,5,6,7,8}, B={a,b,c,d,e,f,g,h}
АВ – обозначение клеток шахматной доски

множество пар вида (a,b), aR, bR :
R2={(a,b) | aR, bR}

Декартов квадрат (А=В):
АА=А2={(a,b) | aА, bА}
Def: прямое произведение n множеств
А1А2 ¾ Аn ={(а1, а2, …… , аn)| aiАi , i=1,n}
Мощность декартова произведения множеств:
| А1А2 … Аn | = |А1 |•|А2|• ¾ •|Аn|

Рене Декарт
XVI-XVII вв.

Декартово (прямое) произведение множеств 2

AB
А – область определения (множество отправления) соответствия G :
Pr1G={

x | (x,y)G }

В – область значений (множество прибытия) соответствия G :
Pr2G={ y | (x,y)G }

элемента х
в множестве B при соответствии G.
Def: множество

всех элементов xA, которым соответствует элемент yB, называется прообразом элемента y в множестве A при соответствии G.
Пример
А={1,2,3}, B={e,f,g}
G={(1,e), (2,e)}  AB

Образы и прообразы

G

образы

прообразы

= В

– функциональное соответствие

x – аргумент, y – значение функции
Отображение –

всюду определенная функция

Взаимно-однозначное соответствие (биекция). Функция. Отображение

всюду определено: Pr1G = (-; ) = R
не sur:

Pr2G = (0; )  R
in: образ имеет единственный прообраз
функционально: каждому прообразу соответствует единственный образ
не является bi
функция, так как функционально
отображение, так как всюду определено и функционально

Пример

представление чисел в системах счисления
секретные шифры
входящие и

исходящие номера в деловой переписке

являются соответствиями между кодируемыми объектами и присваиваемыми им кодами

Они обладают всеми свойствами взаимно-однозначного соответствия, кроме сюръективности
Единственность образа и прообраза в кодировании гарантирует однозначность шифровки и дешифровки
Отсутствие сюръективности означает, что не каждый код имеет смысл. Например, кодирование телефонов шестизначными номерами не сюръективно

адреса можно представить в виде графа адресной дешифрации, показывающего соответствие

между адресами и элементами памяти

Граф адресной дешифрации:
а – случай исправной схемы;
б – случай с неисправностью

имеют одинаковое количество элементов, то между ними можно установить взаимно-однозначное

соответствие
Классификация соответствий применяется в задачах компьютерной инженерии и управления

Длина вектора
определяется:
а) числом различных
элементов;
б) числом координат.
3. Какое из
cоответствий
называется взаимно-
однозначным:

а) сюръективное,
инъективное и
функциональное?
б) сюръективное и
инъективное?
в) всюду определенное,
сюръективное,
инъективное и
функциональное?

б) всюду определенная функция;
в) сюръективное соответствие;
г) инъективное соответствие.
4. Является

ли отображение биективным, если оно сюръективно и инъективно?
а) да; б) нет.

проекцию множества A={(3,3,5), (3,3,6), (3,5,5), (3,5,6), (8,3,5), (8,3,6), (8,5,5), (8,5,6)}

на третью ось
а) PrA={3,8},
б) PrA={3,5},
в) PrA={5,6}.

8. Верно ли: |Аn| = |A|n ?
а) да
б) нет.
9. Соответствие является подмножеством
а) объединения двух множеств;
б) пересечения двух множеств;
в) теоретико-множественной разности двух множеств;
г) декартова произведения нескольких множеств;
д) декартова произведения двух множеств.