ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

игроков были прямо противоположны. Однако ситуации, в которых интересы игроков

хотя и не совпадают, но уже необязательно являются противоположными, встречаются значительно чаще.
Игрок А. Стратегии А1, …, Аm , Игрок В. Стратегии В1, …, Вn

А – платежная матрица игрока А,
В – платежная матрица игрока В,

из двух рынков, контролируемых другой более крупной фирмой В. Для

этого А готова предпринять на одном из рынков некоторые приготовления, направленные на рекламу. В может воспрепятствовать этому, предприняв предупредительные меры. Не встречая противоречия, А захватывает рынок. При наличии препятствий – терпит поражение.
Уточнения: проникновение на первый рынок более выгодно и потребует больше средств для А. При этом победа А на первом рынке принесет ей больше средств, чем на втором, но а поражение будет более сокрушительным.

ПРИМЕР 1: БОРЬБА ЗА РЫНКИ

А1, А2 - выбор рынков игроком A

В1, В2 – выбор рынков игроком B

предварительном заключении по подозрению в совершении преступления. При отсутствии улик

их осуждение зависит от того, будут ли они говорить или лгать. Если оба будут молчать, то наказание – лишь срок предварительного заключения. Если сознаются, то получат срок, учитывающий признание как смягчающее обстоятельство: потери -6. Если заговорит один из узников, а другой будет молчать, то тот, который заговорит – на свободу. Его потери 0, а хранящий молчание получит -9.

надо построить такое комплексное решение, которое удовлетворяло бы обоих игроков,

т.е. надо найти такую равновесную ситуацию, явное отклонение от которой уменьшало бы выигрыш каждого игрока.

Смешанная стратегия в биматричных играх также определяет средний выигрыш игроков А и В, но тут нет дискриминации игрока В

- выигрыш игрока А

- выигрыш игрока В

 

 

стратегии:

Запишем средний выигрыш исходя из формул:
 
 

- вероятности от 0 до 1, определяют равновесную ситуацию для

всех р и q, если одновременно выполняются следующие неравенства:

НА (р,q*) ≤ НА (р*,q*)

НВ (р*,q) ≤ НВ (р*,q*)

ТЕОРЕМА НЭША: Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях

Выполнение неравенств (1) равносильно выполнению
следующих неравенств:

НА(0,q*) ≤ НА(р*,q*) НВ(р*,0) ≤ НВ(р*,q*)
НА(1,q*) ≤ НА(р*,q*) НВ(р*,1) ≤ НВ(р*,q*)

(1)

форме:

НА(p,q) = (a11-a12-a21-+a22)pq + (a12 – a22)p + (a21-a22)q +

a22

НB(p,q) = (b11-b12-b21+b22)pq + (b12 – b22)p + (b21-b22)q + b22

Рассмотрим НА (p,q), полагая р = 0, потом р = 1:

НА(0,q) = (a21-a22)q + a22
HA(1,q) = (a11- a12 - a21+a22)q + (a21- a22)q + a12

Рассмотрим разности:

НА(p,q) - HA (1,q) = (a11-a12-a21+a22)pq + (a12 - a22)p - (a11- a12-
- a21+a22)q + а22 – а12
НА(p,q) - HA (0,q) =   (a11- a12- a21+ a22)pq + (a12 – a22)p

а12
НА(p,q) - HA (1,q) = (р-1)(Сq-α)
НА(p,q) - HA (0,q) =

p(Cq-α)

Тогда

В случае, когда пара (р,q) определяет точку равновесия, все эти разности ≥ 0.

(р-1)(Сq-α) ≥ 0
p(Cq-α) ≥ 0

Для игрока A

q = 1
НB (p,0) = (b12-b22)p + b22
HB (p,1) =

(b11-b12-b21+ b22)p + (b12-b22)p + b21

Рассмотрим разности:

НB(p,q) - HB (p,1) и НB(p,q) - HB (p,0)

Вводятся следующие обозначения:

D = b11-b12-b21+b22
β = b22-b21

Для игрока B

(q-1)(Dp-β) ≥ 0
q(Dp-β) ≥ 0

необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств
(р-1)(Сq-α) ≥ 0

p(Cq-α) ≥ 0

(q-1)(Dp-β) ≥ 0
q(Dp-β) ≥ 0

С = a11-a12-a21+ a22 , α = а22- а12

D = b11-b12-b21+ b22 , β = b22- b21

- 2 – 1 - 1= -14, α = а22-

а12 = -1 – 2 = -3

D = b11-b12-b21+ b22 = 5 + 2 +1 + 1 = 9, β = b22- b21 = 1+1 = 2

(р-1)(-14q +3) ≥ 0
p(-14q +3) ≥ 0

Получаем

(q-1)(9p-2) ≥ 0
q(9p-2) ≥ 0

ситуацию для игрока A
1. p=1 -14q +3

≥ 0 , q  3/14

2. p=0 - (-14q +3) ≥ 0 , q ≥ 3/14

3. 0 < p < 1 -14q +3 = 0 , q = 3/14

Рассмотрим ситуацию для игрока B

(q-1)(9p-2) ≥ 0
q(9p-2) ≥ 0

1. q=1, p ≥ 2/9

2. q=0, p  2/9

3. 0 < q < 1 p = 2/9

+ a22
НB(p,q) = (b11-b12-b21-b22)pq + (b12 – b22)p + (b21-b22)q

+ b22

НB(2/9, 3/14) = 1/3

НА(2/9, 3/14) = -4/7

 

α = а22- а12 = 3
D = b11-b12-b21+

b22 = 2, β= b22- b21 = 3

1. p=1, q ≥ 3/2

2. p=0, q  3/2

3. 0 < p < 1, q = 3/2

1. q=1, p ≥ 3/2

2. q=0, p  3/2

3. 0 < q < 1 p = 3/2

q 3/2 1 0 1 3/2 p

1

3/2 p

Единственная равновесная ситуация — (0,0). Это ситуация, в ко­торой каждый из игроков выбирает вторую чистую стратегию — сознаться — и его потери составляют 6.
Отклонение от ситуации равнове­сия одного из игроков не дает ему никаких преимуществ. Однако при одновременном отклонении обоих каждый из них может полу­чить больший выигрыш, нежели в равновесной ситуации. Например, в ситуации (1,1), когда оба игрока выбирают первую чистую страте­гию — молчать, каждый из них теряет лишь 1. По условию задачи сговор (создание коалиции) между игроками недопустим.

двух действий, (1) и (2) , каждое из которых требует

их совместного участия.
В случае осуществления первого из этих двух действий выигрыш первого партнера (игрок А) будет вдвое выше выигрыша второго партнера (игрок В). Напротив, в случае осуществления второго из этих двух действий выигрыш игрока А будет вдвое меньше выигры­ша игрока В. Если же партнеры выполнят различные действия, то выигрыш каждого из них будет равен нулю.

= а22- а12 = 1
D = b11-b12-b21+ b22 = 3,

β= b22- b21 = 2

(р-1)(3q - 1) ≥ 0 p(3q - 1) ≥ 0

(q-1)(3p-2) ≥ 0
q(3p-2) ≥ 0

1. p=1, q ≥ 1/3

2. p=0, q  1/3

3. 0 < p < 1, q = 1/3

1. q=1, p ≥ 2/3

2. q=0, p  2/3

3. 0 < q < 1 p = 2/3

q 1

1/3 0 2/3 1 p

НА(1, 1) = 2

1.

НB(1, 1) = 1

2.

НА(0, 0) = 1

НB(0, 0) = 2

3.

НB(2/3, 1/3) = 2/3

НА(2/3, 1/3) = 2/3

эгоист. Для этого они называют одновременно либо своё имя, либо

имя противника. Если альтруист – игрок А – называет своё имя, то с него снимают 10 очков за эгоизм, если же он называет имя противника, ему добавляют 20 очков за великодушие. Если эгоист – игрок В – называет своё имя, ему прибавляют 20 очков за эгоизм, если чужое – с него снимают 10 очков за мысли о противнике. Если же игроки называют одновременно одно и то же имя – им обоим прибавляют по 40 очков за синхронность. Как вести себя альтруисту и эгоисту, чтобы заработать как можно больше очков?

= а22- а12 = -10
D = b11-b12-b21+ b22 = -80,

β= b22- b21 = -70

(р-1)(-80q +10) ≥ 0 p(-80q +10) ≥ 0

(q-1)(-80p +70) ≥ 0
q(-80p +70) ≥ 0

1. p=0, q ≥ 1/8

2. p=1, q  1/8

3. 0 < p < 1, q = 1/8

1. q=0, p ≥ 7/8

2. q=1, p  7/8

3. 0 < q < 1 p = 7/8

q 1

1/8 0 7/8 1 p

НА(0, 1) = 60

1.

НB(0, 1) = 60

2.

НА(1, 0) = 30

НB(1, 0) = 30

3.

НB (7/8,1/8) = 25

НА(7/8,1/8) = 25