Теория вероятностей и математическая статистика

математическая статистика (лектор Т.В. Крупкина)
Кодовое слово:
hronop
Лекции для потока 1

студентов экономического факультета): Учеб. пособие. /
Т. В. Крупкина, С.

фамилии Крупкина.

вероятностей и математическая статистика : учеб. Пособие
Эконометрика : электронный учеб.-метод.

шк., 1989. 285 с.
Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и

– 12 апреля (20%)
Контрольная «Математическая статистика» :

случайных явлений, то есть разработка и применение математического аппарата для

сколько раз необходимо подбросить две игральные кости, чтобы вероятность выпадения

для анализа тех явлений окружающего мира, которым свойственна «изменчивость», и

является непростым. Главным обстоятельством, которое определяет границы применимости теории вероятностей,

N – число всех повторений опыта, а N(А) – число

п мало
меняется, колеблясь около некоторого
постоянного значения P*, которое можно
назвать статистической

взаимоисключающих друг друга исходов, которые являются равновозможными. Пусть А –

исходов, в результате которых осуществляется событие A.

Классическое определение вероятности

вынимают наугад 1 шар. Найти вероятность, что вынут белый шар.

Решение:

различных книг?

Ответ: 10!

задач по пяти вариантам?
Ответ: 5!

ая группа содержит ni элементов, i = 1,

2, …9 составить двузначное число?

Ответ: 92.

сколько существует различных способов выбрать и разместить по различным местам

4, 5, 7, 8 двузначное число с различными цифрами?
Решение:

существует различных способов выбора из n элементов k, не учитывая

4, 5, 7, 8 сократимую дробь, выбирая два числа?

Решение:

групп, содержащих соответственно n1, n2,…nk элементов, равно
Число разбиений

из 36 карт на 4 равные части?
Решение:

урны вынимают наугад 2 шара. Найти вероятность, что оба шара

вероятность того, что, перемешав буквы, и разложив их случайным образом,

того, что перемешав буквы, и разложив их случайным образом, получим

результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно

подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие

событий Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, где

счётно.
Множество счётно, если существует взаимно-однозначное соответствие между этим множеством

элементарных исходов Ω называются событиями.

ВАЖНО:
Если Ω конечно или счётно, то

4, 5, 6 } любой набор исходов ─ событие.
Например, {1,

Событие  называется невозможным событием, событие  – достоверным событием.

не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.
Случайное

невозможное событие.
Выпадение не более шести очков - достоверное событие.
Выпадение от

исходов совпадают:


События A1 и A2 называются несовместными, если их

числа очков,
A = {2, 4, 6}.
Событие C - выпадение

т.д.
Поскольку события – это множества исходов, будем использовать соответствующие определения

состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A1 или

Сумма (объединение) событий

A1

A2



числа очков, A = {2, 4, 6}.
Событие B -

состоящее в осуществлении и события A1 и события A2











Аналогично

A2

A1



Произведение (пересечение) событий

A = {2, 4, 6}.
Событие B - выпадение числа

том, что событие A1 осуществилось, а событие A2 – нет.











A2
A1

Разность

A = {2, 4, 6}.
Событие B - выпадение числа

состоящее в том, что событие A не произошло.
A

Противоположное событие

A = {2, 4, 6}.
Событие =

где значок |A| обозначает число элементов в множестве A

костей.
Решение
Элементарным исходом служит упорядоченная пара чисел ω

Пример

определения вероятности. Но классическое определение можно применять только если исходы

опыт состоит в выборе точки из отрезка [0, 1]. Исходом

какие же подмножества являются событиями?
Ответ: только такие, которые входят в

некоторое подмножество .

 – пространство элементарных событий,
F – –алгебра подмножеств множества ,
P

в пространстве). Предположим, что «мера» конечна. Пусть случайный эксперимент состоит

Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от «меры» области.

– система подмножеств , у которых существует мера (длина, площадь,

отрезок
[0,1; 0,5] равна 4/10 = 0,4. (Почему?)
А чему

мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0.

в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший

отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть  и   –

={(,): 0  1, 0  1} = [0,1]x[0,1]

квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества
A={(,): |

друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины

иглы и углом поворота иглы относительно какого –либо направления. Причем

а через [0,]  – угол между каким –то направлением прямых

A так как ()=a• , то искомая вероятность равна