Теория вероятностей и математическая статистика

гипотезы о равенстве дисперсий двух совокупностей.
Тема 11. Проверка статистических гипотез
Проверка

статистических гипотез

Теория вероятностей и математическая статистика; ООО "Новое знание": Минск, 2000.

[2]. Горяинов, В.Б., и др., Математическая статистика, п/р. В.С. Зарубин and А.П. Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424.

Тема 11. Проверка статистических гипотез

– непересекающиеся области параметра θ.
 
Области, например, могут быть заданы θ

≤ θ 0 , θ ≥θ1 , где θ0, θ1 – некоторые фиксированные значения параметра, для которых выполняется неравенство θ0<θ1 (сравнение с примером).
 
Критерий проверки по-прежнему задается с помощью критического множества W реализаций случайной выборки .
 
Решение принимают следующим образом.
 
Выборка принадлежит W. Отвергают H0. Принимают H1.
Выборка не принадлежит W (принадлежит дополнению множества W до выборочного пространства). Отвергают H1. Принимают H0. 

и второго рода имеют прежний смысл.

В отличие от простых гипотез

α и β – функции параметра α(θ) β(θ).
 
Максимально возможное значение вероятности совершения ошибки первого рода называется размером критерия.

Функция, определяющая значение вероятности отклонения основной гипотезы H0 в зависимости от истинного значения параметра θ, называется функцией мощности критерия



 

.

при данном фиксированном размере α максимизирует функцию мощности M(θ) по

всем возможным критериям одновременно при всех θ из множества Θ1 , то такой критерий называют равномерно наиболее мощным.
Равномерно наиболее мощные критерии существуют лишь для некоторых частных случаев.
Параметры α(θ) и β(θ) связаны с M(θ)


То есть равномерно наиболее мощный критерий минимизирует вероятность совершения ошибки второго рода β(θ) при фиксированном размере α одновременно при всех θ из множества Θ1.
 
Иногда наряду с функцией мощности используется также оперативная характеристика критерия, представляющая собой вероятность принятия основной гипотезы H0 при условии, что истинное значение параметра равно θ


 




 

 

простой гипотезы против сложной относительно среднего μ нормального закона распределения

с извесной дисперсией σ2.
 H0: μ=μ0
H1: μ> μ0
 
При любом μ1 >μ0 критическая область оптимального наиболее мощного критерия Неймана-Пирсона размера α для простых гипотез H0: μ=μ0 против H1: μ=μ1 (рассмотренных на предыдущей лекции) имеет вид

Константу выбирают из условия

Или

Константа не зависит от μ1. Это означает, что построенный выше критерий с критичским множество, задаваемым


Является равномерно наиболее мощным критерием размера α для данной задачи со сложной альтернативной гипотезой. H1: μ> μ0  

простой гипотезы против сложной относительно среднего μ нормального закона распределения

с извесной дисперсией σ2.
 
H0: μ=μ0
H1: μ< μ0
 
В этом случае также используем результаты предыдущей лекции и предыдущего примера.
 
Равномерно наиболее мощный критерий размера α для данной задачи задается критическим множеством, определяемым неравенством.
 

двух сложных гипотез относительно среднего μ нормального закона распределения с

извесной дисперсией σ2.
 H0: μ≤μ0
H1: μ≥ μ1
 Причем, μ0< μ1
 
Для критерия с критическим множеством
вероятность совершения ошибки первого рода – возрастающая функция µ.



Максимальное значение вероятности совершения ошибки первого рода достигается в точке μ=μ0, отсюда следует, что данный критерий, применяемый к сложным гипотезам, имеет размерность α= α(µ0)

Рассуждая аналогично предыдущим примерам, получаем, что указанный критерий является равномерно наиболее мощным критерием для данной задачи со сложными гипотезами.
Критическая область определяется

гипотез относительно среднего μ нормального закона распределения с извесной дисперсией

σ2.
 
H0: μ=μ0
H1: μ≠ μ1

Первая гипотеза – простая, вторая сложная.
 
Рассмотрим статистику

Статистика имеет нормальное распределением. Критическое множество для проверки гипотез определяется

 

2 сложных гипотез против относительно среднего μ нормального закона распределения

с неизвесной дисперсией σ2.
 
H0: μ=μ0
H1: μ> μ0
 
 Рассматриваем статистику, которая имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы



Критерий уровня значимости α задается критическим множеством c соответствующими квантилями распределения Стьюдента

 
 

 

2 сложных гипотез против относительно среднего μ нормального закона распределения

с неизвесной дисперсией σ2.
 
H0: μ=μ0
H1: μ< μ0
 
 
Аналогично предыдущему примеру критерий уровня значимости α задается критическим множеством c соответствующими квантилями распределения Стьюдента

 
 

 

2 сложных гипотез о равенстве математических ожиданий 2 нормальных распределений

с извесными дисперсиями σ2.
 
Пусть определены две случайные выборки (X1,...Xn) (Y1,...,Ym) объемов m и n из генеральной совокупностей независимых случайных величин
и
 Рассмотрим следующие гипотезы
H0: μ1=μ2 H1: μ1>μ2 H0: μ1=μ2 H1: μ1<μ2 H0: μ1=μ2 H1: μ1≠μ2
 
Разность выборочных средних имеет нормальное распределение
с математическим ожиданием
и дисперсией
При справедливости основной гипотезы статистика имеет нормальное распределение


Соответсвующие критерии выглядят следующим образом

 
 

 

 

μ1-μ2

2 сложных гипотез о равенстве дисперсий 2 нормальных распределений.
 
H0: σ21=σ22

H1: σ21=σ22
 
Для построения критического множенства используем статистику, имеющую распределение Фишера со степенями свободы n-1, m-1


Соответсвующие критерии выглядят следующим образом




где f- квантиль соответствующего распределения.

 

для случайной величины, являющейся отношением квадратов двух случайных величин, распределенных

по «хи»-квадрат со степенями m и n.






C – нормировочная константа