Теория вероятностей и математическая статистика

понятия математической статистики
Основные понятия математической статистики

и др., Математическая статистика, под ред. В.С. Зарубин and А.П.

Крищенко. 2001, М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 424.
Фигурин, В.А. and В.В. Оболонкин, Теория вероятностей и математическая статистика. 2000, Минск: ООО "Новое знание". 207.
3. Гмурман, В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика. 2003, Москва: Высшая школа. 480. 

Тема 1. Основные понятия теории вероятностей

— раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных

наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений.

Математическая статистика предполагает вероятностную природу данных наблюдений, поэтому она основана на понятиях и методах теории вероятностей.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, однако задачи математической статистики являются «обратными» к задачам теории вероятностей

статистики (МС)– «обратные» к задачам теории вероятностей (ТВ)
ТВ: вероятностная модель

событий задана, необходимо рассчитать вероятности событий.

МС: вероятностная модель не задана, в результате эксперимента известны реализации каких-либо случайных событий, необходимо подобрать вероятностную модель

задач
ТВ: Вероятность выпадения „герба" при подбрасывании монеты известна и равна

р. Какова вероятность того, что при n подбрасываниях монеты герб выпадет k раз, где 0 < к < n?

МС: Монету подбрасывали n раз, и „герб" выпал k раз. Что можно сказать о вероятности выпадения герба при одном подбрасывании?

совокупность (в англ. — population) — совокупность всех объектов (единиц),

которые подлежат изучению.

Генеральная совокупность * — множество возможных значений случайной величины X.

Распределение (з-н распределения) генеральной совокупности X – распределение вероятностей случайной величины X.

Cтатистические (экспериментальные) данные - значения случайной величины, полученные в результате повторений случайного эксперимента.

Предполагаем, что эксперимент хотя бы теоретически может быть повторен сколько угодно раз в одних и тех же условиях. Под словами „в одних и тех же условиях" будем понимать, что распределение случайной величины Xi, i= 1, 2, ..., заданной на множестве исходов i-го эксперимента, не зависит от номера испытания и совпадает с распределением генеральной совокупности X.

выборочная совокупности
Тема 7. Основные понятия математической статистики
____________
* Иногда просто  

Совокупность

независимых случайных величин X1,…Xn, каждая из которых имеет тоже распределение, что и генеральная совокупность X, называется случайной выборкой


из генеральной совокупности X.
 

n – объем выборки,
Xi – элементы cлучайной выборки

Любое возможное значение
случайно выборки будем называть выборкой из генеральной совокупности или реализацией случайной выборки .

Числа

.

n чисел x1, …., xn, полученных в результате проведения n

повторных независимых наблюдений над случайной величиной X.

Выборочный метод:
Свойства случайной величины X устанавливаются путем изучения тех же свойств на случайной выборке.

Выборочный метод – основа любых статистических выводов (i.e. выводов о вероятностных свойствах генеральной совокупности X).

(представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка

будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.

Выборка может быть повторной, если объект возвращается в генеральную совокупность перед произведеление следующего отбора.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Способы отбора.
Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части.
Простой случайный бесповторный отбор;
Простой случайный повторный отбор.
Отбор, при котором производится расчленение генеральной совокупности на части.
Типический отбор;
Механический отбор;
Серийный отбор.

случайной выборки называют выборочным пространством

.

Любую функцию случайной выборки

называют статистикой или выборочной характеристикой.

Ее распределение называют выборочным распределением.

величины может быть известно очень мало, например, что она является

дискретной или непрерывной, или же может быть известно ее распределение с точностью до параметра. Например, генеральная совокупность имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами.

Параметры σ, μ- неизвестны, значит мы можем говорить только о семействе (классе) распределений случайной выборки.
Выборочное пространство, на котором задан класс распределений называется статистической моделью.
Статистическая модель полностью определена функцией распределения. Будем обозначать статистическую модель {F(x)}, поскольку она полностью определена функцией распредлеения F(x) генеральной совокупности.

задана с точностью до неизвестного параметра (в общем случае вектор

параметров c множеством возможных значений

, то статистическую модель называют параметрической.

Статистическую модель называют непрерывной или дискретной, если случайная величина X является непрерывной или дискретной. В случае непрерывной статистической модели распределение задается плотностью распределения. В дальнейшем будем использовать p(x) (p(x, θ)) для параметрических моделей) как для вероятностей, так и для плотности распределения случайных величин.

и на многомерные случайные величины.

В математической статистике обычно используются законы

распределения случайных величин, имеющие общепринятые названия. Статистические модели называют соответствующим образом: нормальная модель, биномиальная модель.

Пример.
Известно, генеральная совокупность случайной величины X распределена по нормальному закону с известной дисперсией и неизвестным средним θ.
Тогда статистическая параметрическая модель {F(x; θ)} может быть задана с помощью плотности распределения

Если неизвестны оба параметра – среднее и среднее квадратичное отклонение, то статистическая модель имеет вид

и плотность распределения содержит два неизвестных параметра.

Оценка неизвестных параметров

Проверка статистических гипотез

Установление формы и степени связи между

случайными величинами

.
Функция распределения известна с точностью до параметра θ.

Нужно найти такую статистику , выборочное значение которой для рассматриваемой реализации случайной выборки можно было бы считать приближенным значением параметра θ.

Статистику , выборочное значение которой для рассматриваемой реализации случайной выборки принимают за приближенное значение параметра θ, называют его точечной оценкой или просто оценкой, - значением точечной оценки.

.


Возможным является и другой подход к

решению задачи.


Найти такие статистики и , что бы с вероятностью γ выполнялось неравенство
 



В этом случае говорят об интервальной оценке для θ.
 
Доверительным интервалом для θ называют .
γ – коэффициент доверия

Статистической гипотезой называют любое предположение о распределении вероятностей

наблюдаемой случайной величины .
 
В некотором смысле задача проверки статистической гипотезы является обратной к задаче оценивания параметра. При оценивании параметра мы ничего не знаем о его истинном значении. При проверке статистической гипотезы мы из каких-то соображений предполагаем известным его значение и хотим по результатам эксперимента проверить наше предположение.
 
Примеры гипотез.
 1. µ=µ0, µ - математическое ожидание случайной величины (гипотеза о величине математического ожидания).
2. σ 21=σ22 , где σ 21 и σ22 - дисперсии двух случайных величин X1 и X2 (гипотеза об однородности дисперсий).
3. F(x)=Ft(x), где F(x) – функция распределения случайной величины, Ft(x) – некоторая предполагаемая функция распределения (гипотеза о функции распределения).
 

понятия математической статистики

.


Смысл таких задач

поясним на примере.
Пусть Y – случайная величина, поведение которой мы хотели бы определить по значениям других величин X и Z. Например – степень шума двигателя автомашины в зависимости от пробега и веса груза в нем. Корреляционный анализ помогает установить, есть ли связь между этими величинами  

.


Вариационный ряд.
 
Наиболее простое преобразование статистических данных –

их порядочивание по величине.
Элементы выборки можно расположить в неубывающем порядке:
 
x1< x2< x3<…< xi<…< xn (*)
 
x1 –наименьший из элементов выборки, xn - наибольший из элементов выборки.
 
 Последовательность чисел x1, x2, x3,…, xi,…, xn , если она удовлетворяет условию (*) называется вариационным рядом.
 
Аналогично можно ввести понятие вариационного ряда для случайной выборки. Переход от случайной выборки к вариационному ряду не приводит к потере информации, однако функции распределения случайных величин уже не совпадают с функцией распределения генеральной совокупности.
 

.


Статистический ряд.
 
Среди элементов выборки, а значит, и

среди членов вариационного ряда могут быть повторяющиеся величины.
 
Статистическим рядом для выборки называют таблицу, которая содержит элементы выборки и числа, показывающие, сколько раз это значение повторялось при проведении измерения.
 Статистические данные, представленные в виде статистического ряда называются группированными.
 Исходные данные группируют обычно при больших объемах выборки.
 Данные можно группировать не только в виде статистического ряда, но и в виде интервального статистического ряда.
Для построения интервального статистического ряда, отрезок содержащий все выборочные значения J=[x1,xn] разбивают на несколько равных интервалов. Подсчитывают сколько элементов попадают в данный интервал и данные записывают в виде таблицы. В верхней строчке таблицы можно указывать как интервал, так и его среднее значение. В нижней иногда указываются относительные частоты nk/n.