Транспортная задача линейного программирования

(производства) А1, А2, ..., Аm соответственно в количествах а1, а2,

..., аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn соответственно в количествах b1, b2, ..., bn единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукции из Аi в Вj известна для всех маршрутов AiBj и cij (i=1..m; j=1..n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозится и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель), т. е.


а суммарные транспортные расходы минимальны.

если он удовлетворяет системам ограничений и требованием неотрицательности.
Допустимый план, будем

называть опорным , если в нем отличны от нуля не более m+n-1 базисных перевозок, а остальные перевозки равны 0.
План будет называться оптимальным , если он, среди всех допустимых планов, приводит к максимальной суммарной стоимости перевозок.

программирования, то её можно решать симплекс-методом, но в силу своей

особенности её можно решить гораздо проще.
Условия задачи удобно располагать в таблице, вписывая в ячейки количество перевозимого груза из Аi в Bj груза Xij>=0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij.

опорного плана
Нахождение оптимального решения, путем последовательных операций
Найдем в начале допустимое

(опорное) решение транспортной задачи. Это решение можно находить, используя метод "северо-западного угла" или метод "минимального элемента".
Метод северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью выносится груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Вj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы аi и не удовлетворятся все потребности bj. В заключении проверяют, что найденные компоненты плана Хij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям.
Метод наименьшего элемента. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

то есть с "северо-западного угла". Вместо x11 впишем число x11=min(a1,

b1). Возможны два варианта.
min(a1, b1)=a1, то есть a1Обратите внимание на то, что оставшаяся незаполненной часть таблицы вновь по структуре та же, что и исходная таблица, только в ней на одну строку меньше.

из первого склада в первый пункт потребления в объеме b1,

мы полностью удовлетворим его потребности. Перевозить туда больше будет ничего не надо, поэтому остальные перевозки туда будут равны нулю.
Ну, а в первом складе еще останется a1-b1 запасов продукта. Обратите внимание на то, что оставшаяся незаполненной часть таблицы вновь по структуре та же, что и исходная таблица, только в ней на один столбец меньше.
Ну, а дальше все можно повторить, продолжая заполнять оставшуюся часть таблицы перевозок начиная с левого верхнего, "северо-западного" угла, пока не будут исчерпаны запасы всех складов и не удовлетворены потребности всех пунктов потребления.

n столбцов. Каждый раз исчезает, как минимум, либо строка, либо

столбец (могут исчезнуть сразу и строка, и столбец, если запасы какого-то подмножества складов полностью удовлетворят потребности какого-то подмножества пунктов потребления). Однако при последней перевозке исчезает сразу и последняя строка, и последний столбец. Поэтому получающийся план перевозок содержит не более m+n-1 компонент.
Мы не будем доказывать, что план, полученный методом северо-западного угла, является опорным. Заметим лишь, что если получающийся план содержит ровно m+n-1 компоненту, то он называется невырожденным. Если число положительных компонент плана перевозок меньше, то он называется вырожденным.

с трёх складов в пять магазинов. На складах имеется соответственно

15, 25 и 20 кроватей, а для пяти магазинов требуется соответственно 20, 12, 5, 8 и 15 кроватей. Стоимость перевозки одной кровати со склада в магазин приведены в таблице.

его с помощью метода "северно-западного угла"
Исходная транспортная таблица:

из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку, которая

ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai и bj. Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

вида: