Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Уравнение множественной регрессии. Теорема Гаусса-Маркова
Содержание
- 1. Уравнение множественной регрессии. Теорема Гаусса-Маркова
- 2. Уравнение множественной регрессии(7.1)Наилучшая линейная процедура получения оценок
- 3. Карл Фридрих ГауссВремя жизни 30.04.1777 - 23.02.1855Научная
- 4. Теорема Гаусса - МарковаПостановка задачи:Имеем случайную выборку
- 5. Теорема Гаусса - МарковаСформируем вектора и матрицу
- 6. Теорема Гаусса - МарковаПо данным выборки найти:
- 7. Теорема Гаусса - МарковаТогда наилучшей линейной процедурой
- 8. Теорема Гаусса - МарковаДоказательствоВоспользуемся методом наименьших квадратов где(7.4)(7.5)Подставив (7.5) в (7.4) получим(7.6)
- 9. Теорема Гаусса - МарковаДля получения необходимого условия
- 10. Теорема Гаусса - МарковаДокажем несмещенность оценок (7.3)Несмещенность
- 11. Теорема Гаусса - МарковаПример 1. Пусть имеем
- 12. Теорема Гаусса - МарковаРешение1. Вычисляем (XTX)-12. Вычисляем (XTY)3. Вычисляем оценку параметра а04. Находим дисперсию среднего
- 13. Теорема Гаусса - МарковаПример 2. Уравнение парной
- 14. Теорема Гаусса - Маркова2. Вычисляем XTY 3. Вычисляем оценку вектора параметров а
- 15. Теорема Гаусса - МарковаВычислим дисперсии (ковариационную матрицу) параметров моделиСледовательно:
- 16. Теорема Гаусса - МарковаРасчет дисперсии прогнозированияПрогноз осуществляется в точке Z={1,z}Т
- 17. Оценка уравнений регрессии с помощью EXCELПроцедура «ЛИНЕЙН»
- 18. Теорема Гаусса - МарковаВыводы: 1. Теорема Гаусса-Маркова формулирует
- 19. Скачать презентанцию
Уравнение множественной регрессии(7.1)Наилучшая линейная процедура получения оценок параметров уравнения (7.1) и условия, при которых эта процедура дает несмещенные и эффективные оценки, сформулирована в теореме Гаусса-Маркова
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1ЭКОНОМЕТРИКА
Лекция 7
Уравнение множественной регрессии
Теорема Гаусса-Маркова
Автор: Костюнин Владимир Ильич, доцент кафедры:
«Математическое моделирование экономических процессов»
Слайд 2Уравнение множественной регрессии
(7.1)
Наилучшая линейная процедура получения оценок параметров уравнения (7.1)
и условия, при которых эта процедура дает несмещенные и эффективные
оценки, сформулирована в теореме Гаусса-Маркова
Слайд 3Карл Фридрих Гаусс
Время жизни
30.04.1777 - 23.02.1855
Научная сфера – математика,
физика, астрономия
Андрей Андреевич Марков
Время жизни
14.06.1856 - 20.07.1922
Научная сфера
- математика
Слайд 4Теорема Гаусса - Маркова
Постановка задачи:
Имеем случайную выборку наблюдений за поведением
экономического объекта объемом n
Выборка наблюдений за переменными модели (7.1)
Первый индекс
– номер регрессораВторой индекс – номер наблюдения
(7.2) - Система уравнений наблюдений, связывающая наблюдения в выборке
(7.2)
Слайд 5Теорема Гаусса - Маркова
Сформируем вектора и матрицу коэффициентов на основе
системы (7.2)
Y – вектор выборочных значений эндогенной переменной
U – вектор
выборочных значений случайного возмущенияA - вектор неизвестных параметров модели
х – вектор регрессоров
X – матрица коэффициентов при неизвестных параметрах
Слайд 6Теорема Гаусса - Маркова
По данным выборки найти: Ã, Cov(ÃÃ), σu,
σ(ỹ(z))
Теорема (Гаусса – Маркова)
Если матрица Х неколлинеарна и вектор случайных
возмущений удовлетворяет следующим требованиям:Математическое ожидание всех случайных возмущений равно нулю
Дисперсия случайных возмущений постоянна во всех наблюдениях
(условие ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТИ)
Случайные возмущения в разных наблюдениях не зависимы
Случайные возмущения и регрессоры не зависимы
Слайд 7Теорема Гаусса - Маркова
Тогда наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели
(7.1) является:
(7.3)
которая удовлетворяет методу наименьших квадратов
При этом:
Слайд 8Теорема Гаусса - Маркова
Доказательство
Воспользуемся методом наименьших квадратов
где
(7.4)
(7.5)
Подставив (7.5) в
(7.4) получим
(7.6)
Слайд 9Теорема Гаусса - Маркова
Для получения необходимого условия экстремума дифференцируем (7.6)
по вектору параметров
Откуда система нормальных уравнений для определения искомых параметров
получает вид(7.7)
Решение системы (7.7) в матричном виде есть
Выражение (7.3) доказано
Слайд 10Теорема Гаусса - Маркова
Докажем несмещенность оценок (7.3)
Несмещенность оценки (7.3) доказана
Вычислим
ковариационную матрицу оценок (7.3)
В результате получено выражение (7.4)
Слайд 11Теорема Гаусса - Маркова
Пример 1. Пусть имеем выборку из n
наблюдений за случайной величиной Y
Найти наилучшие оценки среднего значения и
дисперсии этой переменнойВ терминах теоремы Гаусса –Маркова задача формулируется так: необходимо построить модель типа Y = a0 +u, при этом имеем:
Слайд 12Теорема Гаусса - Маркова
Решение
1. Вычисляем (XTX)-1
2. Вычисляем (XTY)
3. Вычисляем оценку
параметра а0
4. Находим дисперсию среднего
Слайд 13Теорема Гаусса - Маркова
Пример 2. Уравнение парной регрессии
Построить модель типа
Y=a0+a1x +u, по данным вы-борки наблюдений за переменными Y и
x объемом nВ схеме Гаусса-Маркова имеем:
1. Вычисляем матрицы (XTX) и (XTX)-1
Слайд 15Теорема Гаусса - Маркова
Вычислим дисперсии (ковариационную матрицу) параметров модели
Следовательно:
Слайд 16Теорема Гаусса - Маркова
Расчет дисперсии прогнозирования
Прогноз осуществляется в точке Z={1,z}Т
Слайд 17Оценка уравнений регрессии с помощью EXCEL
Процедура «ЛИНЕЙН» в приложении EXCEL
Алгоритм использования процедуры:
Подготовка таблицы исходных данных
2. Вызов процедуры «ЛИНЕЙН»
3. Ввод
исходных данных в процедуру4. Анализ результата
Рассмотрим алгоритм на примере
Слайд 18Теорема Гаусса - Маркова
Выводы:
1. Теорема Гаусса-Маркова формулирует наилучшую линейную процедуру
расчета оценок параметров линейной модели множественной регрессии
2. Линейная процедура соответствует
методу наименьших квадратов3. Предпосылки теоремы обеспечивают получение оценок, обладающих свойствами несмещенности и эффективности
4. При выполнении предпосылок свойства эффективности и несмещенности достигаются при любом законе распределения случайного возмущения
Теги
