Устойчивость сжатых конструкций

отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение по

устранении причины, вызвавшей это отклонение (рис. а)

равновесия тело не возвращается в исходное положение, а все дальше

отклоняется от него (рис. б)

в новом положении (в)

зависит от значений действующих на тело сил
(в рассматриваемом примере

не зависит от веса шарика)

В сопротивлении материалов,
т.е. в механике деформируемого тела, основным является установление зависимости вида равновесия от сил, действующих на элемент конструкции

сжимающей силой.
Если приложить к стержню поперечную нагрузку,
т. е. слегка

изогнуть его,
то при малых значениях сжимающей силы после снятия поперечной нагрузки стержень вернется в прямолинейное состояние.
Это значит, что прямолинейная форма равновесия оси стержня устойчива.
При большем значении сжимающей силы слегка изогнутый поперечной нагрузкой стержень после ее устранения медленнее, как бы «неохотнее» возвращается в прямолинейное состояние.
Но все же прямолинейная форма равновесия еще устойчива.
Наконец, при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой и возникает новая устойчивая форма равновесия - криволинейная. Происходит выпучивание стержня (рис. б).

называют продольным изгибом.
Определение:
то наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы,

до которого прямолинейная форма равновесия стержня устойчива,
называется
критическим

буквальном смысле слова,
то конструкция все же выходит из строя

в результате возникновения больших перемещений.
Поэтому
с точки зрения практических расчетов
критическая сила
должна рассматриваться как
разрушающая нагрузка

первоначальной форме его упругого равновесия,
т.е. при нагрузках,
меньших критических

- допускаемое значение силы, сжимающей стержень;
— критическое значение сжимающей

силы для рассчитываемого стержня;

— заданный (требуемый) коэффициент запаса устойчивости

помощи выражения


где r – радиус кривизны
M -

изгибающий момент
E – модуль упругости

- осевой момент инерции сечения

которого закреплены шарнирно. Пусть стержень находится в несколько изогнутом состоянии.

Допустим, что потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала стержня

При этом условии справедливо дифференциальное уравнение упругой линии

условий, определяемых способами закрепления концов стержня, получается выражение для

критической силы, называемое формулой Эйлера:

Решение этого уравнения имеет вид

где А и В — постоянные интегрирования

y=0.
Тогда
при z = l; y = 0

изогнутая ось при потере устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды,

принято называть основным случаем продольного изгиба

коэффициент μ, зависящий от способов

закрепления концов стержня:
В общем случае

формула Эйлера записывается в виде

сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы,
также называют критическим

образом,
или

сечения называют гибкостью стержня (или стойки).
Это весьма удобная безразмерная

геометрическая характеристика сжатого стержня, показывающая его сопротивляемость потере устойчивости;
она одновременно отражает и длину стержня и жесткость его поперечного сечения:

критического напряжения:
При выводе формулы Эйлера была использована зависимость между изгибающим

моментом и кривизной оси стержня,
полученная на основе закона Гука.
Отсюда следует, что, формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:

предельной гибкостью
(иногда говорят — граничная гибкость):

предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня и

не зависит от его размеров.
Предельная гибкость — величина постоянная для данного материала.
Пользуясь понятием предельной гибкости, удобно представить условие применимости формулы Эйлера в виде

т.е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость рассчитываемого стержня больше или равна
предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен

продольной упругости
и предел пропорциональности
σпц =270 МПа

формулам,
составленным Ф.С.Ясинским на основе опытов, проведенных рядом исследователей.
Для

некоторых конструкционных материалов формула Ф.C.Ясинского
(ее иногда называют формулой Тетмайера - Ясинского)
имеет вид

т.е. зависимость критического напряжения
от гибкости
линейна

категории:
1. Стержни большой гибкости
для которых расчет на устойчивость ведется

по формуле Эйлера
и зависимость σкр от λ — гиперболическая:

так называемая
гипербола Эйлера

формуле
Ф.С.Ясинского.

на прочность
Для них критическое напряжение
считается

постоянным

путей сообщения. В 1890 г. был назначен начальником службы пути

и ремонта зданий Николаевской (ныне Октябрьской) железной дороги. При составлении проектов усилений металлических мостов Ф.С.Ясинский столкнулся с проблемой устойчивости сжатых стержней и в период 1892 - 1896 гг. опубликовал в русских и иностранных технических журналах ряд статей и монографию по этой проблеме.

стержней на устойчивость
можно по форме
привести к расчету на

простое сжатие,
принимая в качестве допускаемого некоторую часть от критического напряжения:

допускаемое напряжение на сжатие для данного материала:
Здесь
— коэффициент

понижения основного допускаемого напряжения на сжатие или коэффициент продольного изгиба;

- основное допускаемое напряжение на сжатие, т. е. установлено без учета продольного изгиба:

, предельным напряжением

и коэффициентами запаса

прочности [n] и

устойчивости устанавливается следующим

образом:

или

гибкости.
Для строительных конструкций
значения этих коэффициентов
включены в Строительные

Нормы и Правила проектирования
(СНиП).

При выполнении расчетов на устойчивость по коэффициентам φ расчетная зависимость имеет следующий вид:

связан с пределами применимости формулы Эйлера и может быть использован

при всех значениях гибкости, для которых имеются табличные значения коэффициента φ.
Коэффициент запаса устойчивости в этом расчете в явном виде не фигурирует, он включен в величину φ.

расчету на простое сжатие, но фактически это расчет на устойчивость,

гарантирующий работу стержня с коэффициентом запаса устойчивости, предусмотренным при составлении таблиц φ

коэффициенты запаса и, кроме того, нет строгой регламентации величин допускаемых

напряжений, поэтому не рекомендуется выполнять их расчет по коэффициентам φ.
Исключением являются элементы стальных конструкций подъемно-транспортных сооружений (ферм мостовых кранов и т. п.), для которых расчет по коэффициентам φ предписан соответствующими нормами