Векторные пространства

изд.). М.: Наука, 1968.

оболочки

F) состоит из множества V с двумя операциями ‘+’ и

‘ ’ , так что
Векторное сложение + :
∀ v, w, u ∈ V
v + w ∈ V ( замкнутость )
v + w = w + v ( коммутативность )
( v + w ) + u = v + ( w + u ) ( ассоциативность )
∃ 0 ∈ V так что v + 0 = v ( наличие нулевого элемента)
∃ −v ∈ V так что. v −v = 0 ( наличие противоположного элем. )
(2) Скалярное умножение :
∀ v, w ∈ V и a, b ∈ F, [ F – поле]
a v ∈ V ( замкнутость)
( a + b ) v = a v + b v ( дистрибутивность )
a ( v + w ) = a v + a w
( a × b ) v = a ( b v ) = a b v ( ассоциативность)
1 v = v

Определение

пространстве R3.
есть векторное пространство
P есть подпространство R3.

с одним элементом называется тривиальным
пространством (нулевым пространством).

элемент:
Обозначим
Например,
Противоположный:

→ R} действительных функций от действительных переменных есть векторное пространство
Сложение

векторов:

Умножение на число:

Нулевой :

Противоположный:

наиболее часто встречается в математических работах.
Лемма 1.7:
Для всякого

векторного пространства V,
0 v = 0 .
( −1 ) v + v = 0 .
a 0 = 0 .
∀ v ∈V и a ∈ F.

Доказательство:

1.

2.

3.

и - числа, тогда
есть линейная комбинация элементов


Если , то говорят, что линейно выражается через

есть подмножество, которое само является пространством относительно унаследованных операций.
Пример 2.2:

Плоскость в R3

есть подпространство R3.

Замечание: Подмножество векторного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно соответствующих операций. → Содержит 0. (ср. Лемма2.4)

Доказательство:

Пусть

→

∴

так что

→

QED

подпространство Rn.
Rn есть подпространство Rn.

полем F.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
S есть подпространство V.

S замкнуто относительно всех линейных комбинаций пар векторов.
S замкнуто относительно произвольных линейных комбинаций.

Доказательство: самостоятельно

Замечание: Векторное пространство = множество линейных комбинаций векторов.

sn | sk ∈ V } есть множество из n

векторов из векторного пространства V над полем F.
Линейная оболочка множества S есть множество всех линейных комбинаций векторов из S, то есть

причем

Лемма 2.6: Линейная оболочка любого подмножества векторного пространства есть подпространство.

Доказательство:

Пусть S = { s1 , …, sn | sk ∈ V }

и

→

QED

Обратно: Любое векторное подпространство есть линейная оболочка некоторого подмножества его элементов.

Также: span S есть наименьшее векторное пространство, содержащее все элементы S.

решение
Так что
QED

span S = V.