Слайд 1Векторный и тензорный анализ
Аффинные пространства
Специальность 1-100 01 01 Ядерная и
радиационная безопасность
2010-2011 уч. г.
Учреждение образования
«Международный государственный экологический университет им.
А.Д. Сахарова»
Факультет мониторинга окружающей среды
Слайд 2Основное определение
Пусть X – множество элементов A, B, C…, которые
назовем точками, аV n – некоторое линейное пространство
над полем K.
Поставим в соответствие каждой упо-рядоченной паре точек (A,B), которую в дальнейшем будем обозначать (A –начало, B – конец), некоторый вектор и таким образом, что
Слайд 3Основное определение
Для любой точки A X и любого вектора
b
существует единственная точка B, для которой
Для любых трех точек A, B, C X имеет место равенство
(правило треугольника)
Пара (X,V n) называется n-мерным аффинным пространством над полем чисел K и обозначается A n.
Слайд 4Следствия
обратному вектору ставится в соответствие
пара (B,A), обозначаемая как вектор ;
для
любого числа K существует такая точка С, для которой вектору соответствует вектор
Слайд 5Обратить внимание!
В аффинном пространстве элементами являются как сами точки A,
B, C…, так и векторы , ,
и т.п.
Отображение неоднозначно. Именно, существует бесконечное множество упорядоченных пар точек (A,B), (A,B),…, которым поставлен в соответствие один и тот же вектор .
Слайд 6Образ вектора в аффинном пространстве
В аффинном пространстве вектор можно изобразить
с помощью стрелочки
Одному и тому же вектору отвечает
бесконечное множество упорядоченных пар точек, изображающих начало и конец вектора.
Тем не менее, будем писать , имея в виду, что есть одна из реализаций вектора в аффинном пространстве
Слайд 7Линейное пространство как аффинное пространство
Элементы линейного пространства
можно рассматривать как точки, а их разности
– как векторы:
Полученное пространство таких векторов вместе с точками будет иметь всю необходимую структуру аффинного пространства.
При необходимости отличить его отV n мы его будем обозначатьV naff.
Слайд 8Kn – тоже аффинное пространство
Упорядоченные наборы чисел (a1, a2,… an)
также образуют линейное пространство Kn. Если их считать точками, а
векторами считать разности
(b1, b2,… bn) – (a1, a2,… an)
то получим пространство Knaff.
Слайд 9Понятие прямой
Прямой, проходящей через точку M0 в направлении вектора
, называется множество точек M, для которых
Вектор
называется направляющим вектором прямой.
Прямые называются параллельными, если они имеют колинеарные направляющие векторы и проходят через разные точки.
Радиус-вектором точки M относительно точки O называется вектор
Слайд 10Параметрическое уравнение прямой
Положение любой точки M в простран-стве относительно наперед
заданной точки O можно задать посредством радиус-вектора
.
Любой вектор можно предста-вить в виде
Тогда из определения прямой можно получить ее параметрическое уравнение
Слайд 11Параметрическое уравнение плоскости
Если векторы и не колинеарны,
то уравне-ние
где и – произвольные числа из K
, опреде-ляет двухмерную плоскость, проходящую че-рез точку с радиус-вектором .
Система из n – 1 неколинеарных векторов описывает (n – 1)-мерную плоскость
проходящую через точку с радиус-вектором и , которая называется гиперплоскостью
Слайд 12Аффинные координаты точек в A n
Рассмотрим некоторый базис
в V n .
Для каждого
базисного вектора можно определить прямую, проходящую через одну и т же точку O, как множество точек Mk, для которых
Из точки O для каждого базиса исходит n таких прямых.
Тогда радиус-вектор некоторой точки в аффинном пространстве можно представить в виде:
Слайд 13Уравнение прямой в аффинных координатах
Пользуясь разложением радиус-вектора
в некотором базисе ,
параметрическое урав-нение прямой можно свести к системе уравне-ний
из которой, исключив параметр , можно полу-чить систему уравнений, называемую системой канонических уравнений прямой
Слайд 14Уравнение гиперплоскости в аффинных координатах
Пользуясь разложением радиус-вектора
в некотором базисе ,
параметрическое уравнение гиперплоскости можно свести к системе уравнений
исключив из которой параметры 1, 2,…, n–1, можно получить одно уравнение, описываю-щее гиперплоскость. Оно будет иметь вид
Слайд 15Сопряженное аффинное пространство
Аффинным пространством A n , сопряженным к
аффинному пространству A n, называется пара (X,V n),
где X – множество гиперплоско-стей в A n, аV n – линейное пространство, со-пряженное кV n; при этом:
для каждой точки A из A n и каждого ковектора м уравнение
описывает некоторую гиперплоскость A, проходящую через точку A;
существует единственная гиперплоскость B, для которой упорядоченная пара
