Векторы

двух векторов
Законы сложения. Правило параллелограмма
Сумма нескольких векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на

число

Составила учитель математики
МОУ СОШ №127 г.Перми:
Коблова С.Ю.

направление силы, а длина отрезка соответствует числовому значению силы.
8Н

Чтобы выбрать одно из направлений, один конец

отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение.
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.

– начало вектора, В – конец.

CD

EF

LK
А
В
АВ
C
D
E
F
K
L

стрелкой над ней:




Любая точка плоскости также является вектором, который называется

НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом:

ММ = 0.

a

b

c

М

АВ:

АВ = а = АВ = 5

с = 17

Длина нулевого вектора считается равной нулю:

ММ = 0.

a

М

В

А

с

одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть

сонаправленными или противоположно направленными.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

а

b

c

d

m

n

s

L

и их длины равны.

а = b , если
а

b
а = b

а

c

b

d

m

n

s

f

а , то говорят, что вектор а отложен от точки

А.

Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один.


Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой

А

а

М

а

Васе(B), а потом поехал в кинотеатр(К).


В результате

этих двух перемещений, которые можно представить векторами DB и BK, Петя переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК:

DK=DB+BK.

Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

D

B

K

два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой

точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b.

АС = а + b

a

b

A

a

b

B

C

а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А

и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD.
АС = АВ + BС = а+b
АС = АD + DС = b+a



2) (а+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)

a

a

b

b

A

D

C

B

a

b

ненулевой вектор.
Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а

и b имеют равные длины и противоположно направлены.

a = АВ, b = BA




Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

А

B

a

b

c

-c

а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором

b равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.

а

а

b

-b

-b

a - b

ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b,

длина которого равна вектору k а , причем векторы а и b сонаправлены при k≥0 и
противоположно направлены при k<0.



Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

а

-2a

3а

векторов а, b справедливы равенства:
(kn) а = k (na) (сочетательный

закон)
(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)

Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,

p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c

по двум
данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным

образом.

2. Какой из указанных векторов равен

?




3. ABCD – трапеция.
Чему равна сумма векторов и ?


4. ABCD – параллелограмм. Точка О – точка пересечения диагоналей. Выразите вектор через векторы и .