Волны де Бройля

потенциалов U1 = 1 В, U2 = 100 В.
Дано:
U1 =

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.

Величину импульса определим из закона сохранения энергии, для чего сначала выразим кинетическую энергию частицы в нерелятивистском случае через импульс:

Согласно закону сохранения энергии в нерелятивистском случае

потенциалов U1 = 1 В, U2 = 100 В.
Решение (продолжение).
Отсюда

Длина волны де Бройля для частицы

Для электрона |q| = e = 1,6·10-19 Кл, m = 9,1·10-31 кг.

(м).

разность потенциалов U1 = 1 В, и U2 = 200

Дано:
U1 = 1 В
U2 = 200 В

λ1 - ?
λ2 - ?

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

где h – постоянная Планка,
p – величина импульса частицы.

Согласно закону сохранения энергии в нерелятивистском случае

Отсюда

Длина волны де Бройля для частицы

Для протона |q| = e = 1,6·10-19 Кл, m =1836·me =1836∙ 9,1·10-31 кг = 1,67 ·10-31 кг.

Подстановка числовых данных позволяет получить следующие результаты:
λ1 = 29 пм, λ2 =2,9 пм.

со скоростью V = 106 м/с; б) атома водорода, движущегося

Дано:
V1 = 106 м/с
T = 300 K
V3 = 1 см/с

λ1 - ?
λ2 - ?
λ3 - ?

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.

так как во всех трёх случаях v << c.

(м).

со скоростью V = 106 м/с; б) атома водорода, движущегося

Решение (продолжение).

Во втором случае определим импульс атома при тепловом движении:

где k – постоянная Больцмана, k = 1,38∙10-23 Дж/К.

Для атома водорода (протон + электрон), m = (1836 + 1)·me =1837∙ 9,1·10-31 кг = 1,67 ·10-27 кг.

Длина волны де Бройля

(м).

для: а) электрона, движущегося со скоростью V = 106 м/с;

Решение (продолжение).

Длину волны де Бройля для шарика можно определить по формуле

(м).

имеет длину волны де Бройля λ = 2,02 нм. Найти

Дано:
U = 200 В
λ = 2,02 нм
q = e

m - ?

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

где h – постоянная Планка,
p – величина импульса частицы.

так как в нашем случае v << c.

(кг).

Согласно закону сохранения энергии

в однородном магнитном поле, напряжённость которого H = 18,9 кА/м.

Дано:
r = 8,3 мм
H = 18,9 кА/м

λ - ?

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.

Импульс частицы определим из второго закона Ньютона:

Частица движется по окружности под действием силы Лоренца.

Индукция магнитного поля

m = (2∙1836 + 2∙1838)·me =
= 4∙1837∙ 9,1·10-31 кг

А5. α-частица движется по окружности радиусом r = 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H = 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля λ для α-частицы.

Решение (продолжение).

(м).

движущегося при температуре T = 293 K с наиболее вероятной

Дано:
T = 293 K
атом H

λ - ?

Решение.

Длину волны де Бройля для частицы можно определить по формуле

где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы.

Импульс частицы

Наиболее вероятная скорость при тепловом движении

где k – постоянная Больцмана, k = 1,38∙10-23 Дж/К.

Для атома водорода (протон + электрон), m = (1836 + 1)·me =1837∙ 9,1·10-31 кг = 1,67 ·10-27 кг.

Импульс атома:

движущегося при температуре T = 293 K с наиболее вероятной

Решение (продолжение).

(м).

атоме со скоростью V = 1,5·106 м/с, если допускаемая неточность

Дано:
V = 1,5·106 м/с ΔV = 0,1V

Δx - ?

Решение.

Сразу отметим, что v << c, следовательно, импульс электрона

Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга

(м).

(м).

Очевидно, что понятие траектории в этом случае неприменимо.

в металлическом цилиндре диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную

Дано:
T = 15 эВ
d = 1 мкм

ΔV/V - ?

Решение.

Кинетическая энергия электрона Ek << m0c2 = 0,511 МэВ, следовательно, импульс электрона

Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга

Кинетическая энергия электрона

Следовательно,

в металлическом цилиндре диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную

Решение продолжение).

неопределённостей Δx её координаты, которая соответствует относительной неопределённости импульса 1%?

Дано:
Δp = 0,01p

Δx/λ - ?

Решение.

Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга

Согласно условию задачи

Длина волны де Бройля для частицы

где h – постоянная Планка, p – величина импульса частицы, частица движется вдоль оси OX.

низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры

Дано:
l = 0,1 нм

E1 - ?

Решение.

Согласно соотношению неопределённостей Гейзенберга

Известно, что электрон находится в атоме. Будем считать атом сферой. Поэтому неопределённость каждой из координат примем равной диаметру атома:

Из соотношения неопределённостей Гейзенберга оценим импульс электрона, затем, по импульсу определим кинетическую энергию, а потом и полную энергию электрона в атоме.

Известно, что у электрона имеется некоторый импульс. Предположим, что величина каждой проекции этого импульса не более неопределённости импульса Δp.

низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры

Решение (продолжение).

Из соотношения неопределённостей Гейзенберга и оценок неопределённостей координат и проекций импульса следует

Аналогично для других проекций импульса получим

Для импульса получаем:

Кинетическая энергия электрона

низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры

Решение (продолжение).

Полная энергия электрона в атоме

причём потенциальная энергия электрона в атоме отрицательна, W < 0.

r – расстояние от электрона до ядра (радиус атома); r = l/2.

Предположим, что электрон в атоме движется по окружности под действием кулоновой силы. Запишем второй закон Ньютона:

низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры

Решение (продолжение).

Кинетическая энергия электрона связана с потенциальной соотношением:

Полная энергия электрона в атоме

(Дж)

= -11,2 эВ.