Все о четырехугольниках (теория)

(теория)

а) Свойства прямоугольника, ромба, квадрата
Трапеция (определения, виды)

а) Свойства трапеции
Свойства вписанных и описанных четырёхугольников
Формулы площадей
а) прямоугольника и квадрата
б) параллелограмма
в) ромба
г) трапеции
д) произвольного четырёхугольника

вершины – вершины, являющиеся концами одной из сторон четырёхугольника
Противолежащие

вершины – вершины не являющиеся соседними
Диагонали четырёхугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины.
Соседние стороны – стороны, исходящие из одной вершины.
Противолежащие стороны – стороны, не являющиеся соседними.
Периметр – сумма длин всех сторон четырёхугольника.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Утверждения, обратные свойствам

1-3, являются признаками параллелограмма, т.е.
если противолежащие стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм

квадратов его сторон.
т.е.


d1
d2
а
в

прямые
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат –

это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
4.

Диагонали квадрата:
1) равны
2) пересекаются под прямым углом
3) являются биссектрисами его углов

справедливы все свойства параллелограмма.

а две другие стороны не параллельны.
Основания трапеции – её параллельные

стороны.
Боковые стороны трапеции – непараллельные, противолежащие стороны трапеции
Высота трапеции – это отрезок перпендикуляра от любой точки одного основания до её другого основания(или его продолжения)
Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции.

их полусумме.

2. У равнобокой трапеции углы при основании (верхнем и

нижнем) равны.

ВС, точка Е- точка пересечения её диагоналей.

Тогда S∆АВЕ = S∆DСЕ
Данное свойство верно для любых трапеций.

А

В

С

D

Е

S∆АВЕ

S∆DСЕ

можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма

его противолежащих углов равна 180°
А + С = В + D = 180°

А

В

С

D

можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы

его противолежащих сторон равны.

а + с = в + d

а

в

с

d

четырёхугольник вписан в окружность, то произведение его диагоналей равно сумме

произведений его противолежащих сторон.
АС·ВD = АВ·СD + АD·ВС

А

В

С

D

четырёхугольников
Квадрат: а – сторона; d – диагональ

S = a²
S =1/2·d²


Прямоугольник: а, в – стороны; d – диагональ; β – угол между диагоналями
S = a·в
S =1/2·d² ·Sin β

а

d

а

в

β

d

четырёхугольников

Параллелограмм: а, в – стороны;
α – угол между сторонами; d1 и d2 – диагонали; β – угол между диагоналями; ha и hв - высоты, проведенные к сторонам а и в соответственно
S = a·ha = в·hв
S = a·в·Sinα
S =1/2·d1d2 ·Sin β

а

в

α

ha

hв

четырёхугольников

Ромб: а – сторона; α – угол между сторонами; d1 и d2 – диагонали; h – высота
S = a·h
S = a²·Sinα
S =1/2·d1d2

а

d1

d2

h

четырёхугольников

Трапеция: а, в – основания;
α – угол между сторонами; d1 и d2 – диагонали; β – угол между диагоналями; h – высота; m – средняя линия
S = m·h
S =1/2 ·d1d2 ·Sin β
S =1/2·(а+в)· h

в

а

h

m

d1

d2

β

четырёхугольников

Произвольный четырёхугольник: d1 и d2 – диагонали; β – угол между диагоналями

S =1/2 ·d1d2 ·Sin β

d1

d2

β

Математика. Весь школьный курс в таблицах., Минск, «Букмастер»,2012



https://www.google.com/search?hl=ru&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=732&q=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&oq=%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0&gs_l=img.1.0.0l10.11499.13684.0.20805.10.7.0.3.3.0.113.481.6j1.7.0...0.0...1ac.1.7.img.ZRxa7gaF-MI#imgrc=hBP2SMLPpmMX9M%3A%3BLrDnnfsdseyC3M%3Bhttp%253A%252F%252Fimg16.slando.ua%252Fimages_slandocomua%252F74852745_1_644x461_podgotovka-k-zno-matematika-harkov.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fkharkov.kha.slando.ua%252Fobyavlenie%252Fpodgotovka-k-zno-matematika-ID5e1v1.html%3B527%3B461