Введение в анализ. Числовые множества. Функции.

факультет
Кафедра высшей математики


Математика
Лекция 3. Введение в анализ. Числовые множества.

Функции.


Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru
Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г.



Екатеринбург - 2012

СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по

высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

⇒ β − «из предложения (утверждения) α следует (вытекает) предложение

(утверждение) β»;
α ⇐ β − «из предложения β следует (вытекает) предложение (утверждение) α»;
α ⇔ β − «предложения α и β равносильны, т.е. из предложения α следует β, а из предложения β следует α»;
∀ − означает «для любого», «для всякого»;
∃ − «существует», «найдется»;
: − «имеет место», «найдется»;
→ − «соответствие».
Н а п р и м е р, 1) запись (∀x ∈ A: α) означает: «для всякого элемента x из A имеет место предложение α»;
2) Запись (x ∈ A∪B) ⇔ (x ∈ A или x ∈ B) определяет объединение множеств A и B.

§1. Введение в анализ (основные понятия)

b.
Df: Числовыми промежутками на числовой оси называют подмножества всех действительных

чисел, имеющих следующий вид:
[a; b] = {x: a ≤ x ≤ b} – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
(a; b) = {x: a < x < b} – интервал (открытый промежуток);
[a; b) = {x: a ≤ x < b} – полуотрезок (полусегмент);
(a; b] = {x: a < x ≤ b} – полуотрезок (полусегмент);
(−∞; b] = {x: x ≤ b}; (−∞; b) = {x: x ≤ b} – лучи;
[a; +∞) = {x: x ≥ a}; (a; +∞) = {x: x > a} – лучи;
(−∞; +∞) = {x: −∞ < x < +∞} – вся числовая ось R.

§2. Числовые множества (продолжение)

правым концами этих промежутков. Символы −∞ и +∞ обозначают не

числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от точки 0 начала отсчета влево и вправо.
Df: Пусть x0 – произвольное действительное число (точка на числовой оси). Окрестностью точки x0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (x0–ε, x0+ε), где ε > 0, называется ε–окрестностью точки x0. Точка x0 называется центром, а число ε – радиусом ε-окрестности (см. рис.).
В ε–окрестности т. x0 имеем |x − x0| < ε.

§2. Числовые множества (продолжение)

R

x0

x0− ε

x0+ ε

связано с установлением зависимости (связи, соответствия) между элементами двух непустых

множеств.
Df: Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу x ∈ X сопоставляет определенный (единственный) элемент y ∈ Y, называется (однозначной) функцией и записывается как f: X → Y. Говорят еще, что функция f отображает множество X на множество Y.
Прим. Обозначая функцию, на практике чаще пишут: y = f(x) или просто y = y(x), x ∈ X.
Df: Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех допустимых значений y ∈ Y называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

§3. Функции 3.1. Понятие функции

отображение f является (однозначной) функцией в случаях а) и б)

и не является таковой в случаях в) и г).

3.1. Понятие функции (продолжение)

Y

f

X

X

Y

f

X

Y

f

X

Y

f

X и Y являются действительные числа (т.е. X ⊂ R,

Y ⊂ R), то функцию f называют числовой функцией.
В дальнейшем будем изучать, главным образом, числовые функции, именуя их просто: функции y = f(x).
Df: Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y = y(x) – функцией или зависимой переменной (от x). При этом говорят, что сами величины x и y находятся в функциональной зависимости. Частное значение функции y = f(x) при x = a записывают как f(a) или y(x = a) = y(a).
Например, если f(x) = 2x2 − 3, то f(0) = −3, f(2) = 5.

3.2. Числовые функции

точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением

(независимого) аргумента, а y – соответствующим значением функции.
Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило (процедуру), позволяющее для каждого x ∈ D(f) указать соответствующее значение y ∈ E(f).
Df: Функция y = f(x) может быть задана одним или суперпозицией следующих наиболее употребимых способов:
аналитически;
таблично;
графически;
программно, и др.

3.2. Числовые функции (продолжение)

имеющего единого аналитического выражения. Примерами графического способа задания функции являются

биржевые котировки, например, курсы валют на рынке Forex (см. рис.).

3.2. Числовые функции (продолжение)

дисплея. Значения функции y, соответствующие тем или иным значениям аргумента

x, непосредственно находятся из этого графика; это называют оцифровкой графика. Преимуществом графического задания функции является его наглядность, недостатком – его неточность.
Df: Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, ранее широко использовались таблицы значений тригонометрических функции, таблицы логарифмов и др.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функции, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

3.2. Числовые функции (продолжение)

пусть область D1 ⊂ D.
Df: Если для любых значений аргументов

x1 < x2, где x1, x2 ∈ D1, выполняется неравенство f(x1) < f(x2), то функция f(x) называется (строго) возрастающей на множестве D1; если f(x1) ≤ f(x2), то функция f(x) называется неубывающей (нестрого возрастающей) на множестве D1.
Df: Если для любых значений аргументов x1 < x2, где x1, x2 ∈ D1, выполняется неравенство f(x1) > f(x2), то функция f(x) называется (строго) убывающей на множестве D1; если f(x1) ≥ f(x2), то функция f(x) называется невозрастающей (нестрого убывающей) на множестве D1.

3.3. Основные характеристики функций (продолжение)

периодической на этом множестве, если существует такое число T >

0, что ∀x ∈ D выполняется равенство f(x + T) = f(x) (подразумевается, что и x + T ∈ D). При этом число T называется периодом функции y = f(x). Если T – период функции, то ее периодами будут также и числа вида nT, где n ∈ Z. Наименьшее число T, для которого выполняется равенство f(x + T) = f(x) называется основным периодом (или просто периодом).
Так, для тригонометрической функции y = f(x) = sin x периодом являются числа вида 2πn, где n ∈ Z, ибо f(x + 2πn) = sin(x + 2πn) = sin x ⋅ cos 2πn + cos x ⋅ sin 2πn = sin x = f(x). Основной (наименьший положительный) период: T = 2π.
З а д а ч а. Установить периодичность следующих функций: а) y = sin x + cos x; б) y = sin2 x; в) y = |sin x|.

3.3. Основные характеристики функций (продолжение)

D = D(f) и множеством значений E = E(f). Если

каждому значению y ∈ E соответствует единственное значение x ∈ D, то определена функция x = ϕ(y) с областью определения D. Такая функция называется обратной к функции y = f(x). Функции f(x) и ϕ(y) являются взаимно обратными по отношению друг к другу. Функции f(x) и ϕ(y) задают взаимно однозначное соответствие между множествами D и E.

3.4. Обратная функция

D

E

→ f

ϕ ←

= f(x) становится точкой M2(y0; x0) кривой обратной функции y

= ϕ(x). Но точки M1 и M2 симметричны относительно прямой у = x (см. рис.).
У т в е р ж д е н и е: графики взаимно обратных функций y = f(x) и y = ϕ(x) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

3.4. Обратная функция (продолжение)

D = D(f), а функция u = ϕ(x) определена на

множестве D1, причем ∀x ∈ D1 соответствующее значение u = ϕ(x) ∈ D.
Тогда на множестве D1 определена функция y = f(ϕ(x)) , которая называется сложной функцией от x (или функцией f от функции ϕ или суперпозицией функций f и ϕ).
Переменную u = ϕ(x) называют промежуточным аргументом сложной функции.
Так, функция y = sin 2x является суперпозицией двух простых (элементарных функций): y = sin u и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

3.5. Сложная функция

функция y = xα, α ∈ R. Среди степенных функций

выделяется класс функций с целочисленным показателем степени: y = xn, n ∈ N.
1.1. Линейная функция: y = x (см. рис., а)). Область определения D = R; множество значений: E = R; функция нечетна и монотонно возрастает в D. Обратная функция: y = x (б) совпадает с данной.

3.6. Основные элементарные функции

а)). Область определения D = R; множество значений: E =

[−1; 1]; функция является нечетной и периодической (период T = 2π) и монотонно возрастает на промежутке D1 = [−½π; ½π]. Обратная функция y = ϕ(x) = arcsin x (рис., б)), ее область определения D(ϕ) = E = [−1; 1]; множество значений E(ϕ) = D1 = [−½π; ½π].

3.6. Основные элементарные функции (продолжение)

а)). Область определения D = R; множество значений: E =

[−1; 1]; функция является четной и периодической (период T = 2π) и монотонно убывает на промежутке D1 = [0; π]. Обратная функция y = ϕ(x) = arccos x (рис., б)), ее область определения D(ϕ) = E = [−1; 1]; множество значений E(ϕ) = D1 = [0; π].

3.6. Основные элементарные функции (продолжение)

а)). Область определения D = R\{π(n + ½), n ∈

N}; множество значений: E = R; функция является нечетной и периодической (период T = π) и монотонно возрастает на промежутке D1 = [−½π; ½π]. Обратная функция y = ϕ(x) = arctg x (рис., б)), ее область определения D(ϕ) = E = R; множество значений E(ϕ) = D1 = [−½π; ½π].

3.6. Основные элементарные функции (продолжение)

а)). Область определения D = R\{πn, n ∈ N}; множество

значений: E = R; функция является нечетной и периодической (период T = π) и монотонно убывает на промежутке D1 = [0; π]. Обратная функция y = ϕ(x) = arcсtg x (рис., б)), область определения D(ϕ) = E = R; множество значений E(ϕ) = D1 = [0; π].

3.6. Основные элементарные функции (продолжение)