ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ

СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ В ОДНОМ И В ДРУГОМ

НАПРАВЛЕНИИ.

ЛЕКЦИЯ №9

д е л е н и е . Замкнутая область

называется
правильной в направлении оси (оси ), если любая
прямая, проходящая через внутреннюю точку области и
параллельная оси (оси ), пересекает границу этой
области только в двух точках, см. рис. 1 (рис.2).

Рис 1

Рис2

, правильная в направлении
одной оси, может

быть или не быть правильной в направлении
другой оси. Например, область, изображенная на рис. 1,
неправильная в направлении оси (см. рис.3);
область, изображенная на рис.2,  правильная в направлении и
оси , и оси (см. рис.4).

Рис.3

Рис. 4

ограничена

линиями:


причем на отрезке функции

Функция
непрерывна в замкнутой области .
Тогда

ограничена

линиями:


причем на отрезке функции

Функция непрерывна в замкнутой области .
Тогда

Решение: Изобразим область интегрирования  на чертеже:

Таким образом:



Обратим внимание на следующее
действие: в данном случае можно
вынести «икс» из внутреннего интеграла
во внешний интеграл.

вынести «икс» из внутреннего интеграла во внешний интеграл.
Во

внутреннем интеграле

Интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс»
считается константой. Следовательно, константу можно вынести за знак интеграла.
По формуле Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл:

Вместо «игрека»
подставляем функции!

коем случае не забываем про «икс», который
там уже находится:



Ответ:

чертеже:
Необходимо разделить область на две части, при этом необходимо

будет вычислить следующие интегралы: