Вынужденные колебания

вынужденными колебаниями.
В случае электромагнитных колебаний причиной, вызывающей вынужденные колебания, может

быть другое электромагнитной колебание, внешнее по отношению к рассматриваемой системе. Так, например, если колебательный контур включить в цепь переменного тока, то колебания тока и напряжения в этой цепи будут внешними колебаниями по отношению к колебательному контуру. Они вызовут электромагнитные колебания в самом контуре, которые мы и называем вынужденными колебаниями.

квазиупругой силы на OX:
Проекция скорости на OX:
Проекция ускорения на OX:
Проекция

внешней периодической силы на OX:

Динамическое уравнение движения:

на m:
Введем следующие обозначения:
0 – собственная частота незатухающих колебаний

без учета трения.

уравнение вынужденных колебаний.
Как известно из математики, общее решение неоднородного

дифференциального уравнения вида (1) равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения

С точки зрения математики это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Приступим к его решению.

плюс частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1).

Вынужденные колебания.
Вынужденные механические колебания.

(2)

и получим характе-ристическое

уравнение:

- характеристическое уравнение.

Решаем линейное однородное уравнение (ещё один раз!):

Вынужденные колебания.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

известно, общим решением дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

является функция:

Подкоренные выражения в формулах, определяющих корни характеристического уравнения, в зависимости от значений параметров  и  могут быть как положительными, так и отрицательными. Это приводит к тому, что существует два класса решений. Но в этот раз мырассмотрим только колебательное решение.

а корни характеристического уравнения – комплексными.
Обозначим
тогда
Решение уравнения в этом

случае будет иметь вид:

Или в действительной форме:

Здесь A и 0 – произвольные постоянные имеющие смысл амплитуды и начальной фазы колебаний,

Вынужденные колебания.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

в виде
,
Вычислим производные:
Нам необходимо найти такие

значение параметров B и , при которых (3) будет частным решением уравнения (1). Подставим функцию (3) и найденные значения производных в исходное уравнение (1):

(1)

(3)

тригонометрии формулами косинуса суммы и синуса суммы двух аргументов:
,
После очередной

группировки слагаемых получим:

обозначим так
Отметим, что величины a и b не зависят от

времени. Теперь, заменив выражения в фигурных скобках, получим

Чтобы функция (3) была частным решением уравнения (1), последнее условие должно выполняться в любой момент времени t. Это возможно лишь в том случае, когда одновременно равны нулю величины a и b.

определить величину B, сначала выразим Sin, через B, , ,

и .

Для этого умножим первое из уравнений системы на sin, а второе – на cos.

было получено

первую формулу:
Приравняем тангенсы:
Откуда

функция x(t) = Bcos(Ωt + φ) может быть решением неоднородного

дифференциального уравнения (1) только тогда, когда параметры B и  определяются формулами

дифференциального уравнения и частного решения неоднородного уравнения
Вынужденные колебания. Общее решение

линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Механические колебания.

частоты собственных колебаний системы происходит существенное увеличение амплитуды вынужденных колебаний.

Такое резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, происходящее при совпадении частоты внешних колебаний и собственной частоты колебаний системы называется резонансом.

Отметим, что величина амплитуды вынужденных колебаний при резонансе зависит от величины коэффициента затухания системы. Чем меньше затухание, тем больше амплитуда резонансных колебаний.

резонансе энергия вынужденных колебаний резко возрастает. Энергия на поддержание вынужденных

колебаний поступает в колебательную систему от внешних тел в результате воздействия внешней вынуждающей силы.

В случае резонанса процесс передачи энергии значительно ускоряется. Графики, приведенные на рисунке, соответствуют тому случаю, когда от внешних тел в систему может поступать неограниченная энергия за любое сколь угодно малое время. Если же мощность, подводимая в систему, ограничена, то амплитуда вынужденных колебаний не достигнет своего максимального значения.

вынуждающей силы.

дифференциального уравнения и частного решения неоднородного уравнения
Вынужденные колебания. Общее решение

линейного неоднородного дифференциального уравнения. Электромагнитные колебания.