Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

точными, а вот выполнять построения в пространстве можно схематически. Поэтому

термины «провести плоскость (прямую)» употребляют в смысле «доказать существование плоскости (прямой)», удовлетворяющей поставленным условиям.

и не имеют общей точки или совпадают.
Определение:
Две прямые называются скрещивающимися,

если они не пересекаются и не параллельны.

Определение:
Две прямые называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

а
Дано:
К  a
Доказать:
 ! b: К 

b, b  a

Доказательство:

Построение
1.Проведем через прямую a и т. К плоскость α. (по Сл.1)

2.Проведем через т. К в плоскости α прямую b, b a.(А планиметрии)

Единственность (от противного)

1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через прямые a и b1 можно провести плоскость α1 (по Сл.3)
2. Прямая a , т.К  α1;  α1= α (по точке и прямой в пространстве) (СЛ.1).
3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.

К

a

b

а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой

прямой, то данные прямые скрещиваются.

Обратите внимание: через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость.

Дано:

Доказать:

плоскость.
Прямая не пересекает плоскость.
Множество общих точек.
Единственная общая точка.
Нет общих точек.
g

а
g

а

М
g

а
а

Ì g

а Ç g = М

а Ë g

общей точки или прямая лежит в плоскости.

Рассмотрим следующий признак параллельности

прямой и плоскости

то данные прямая и плоскость параллельны.
Дано:
Доказать:

плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна

данной прямой.

Дано:



β ∩ α =

Доказать:



Доказательство:

1) а, b  β
а не может ∩ b,
так как иначе а ∩ α,
что противоречит условию.
Следовательно а в

Теорема доказана.

плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна

каждой из данных прямых.

Дано:

Доказательство:

Доказать:

а b

α  β = с

с  а,
c b

Через а проведена α,
через b – β,
причем α ∩ β = с
По признаку || прямой и плоскости а || β, тогда с а (Т.3)
Аналогично доказывается с||b

Возьмем т.М, М  а
Через т.М и с проведем плоскость

α, b и М проведем плоскость β;

2. Т 4 : α  β = MN (линия пересечения плоскостей  b и с)

3. Через т.М нельзя провести двух различных прямых с, поэтому MN и а совпадают.

4. Но так как (MN )  b, то и а b  в с

Теорема доказана.

Теорема 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Дано:

а  с,
b  c

Доказать:

а b

и плоскость?

По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся

прямым.

4. По двум параллельным прямым.

через три точки, при этом они

на одной прямой.
2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В

α, то прямые а и b

не лежат

две

прямую

параллельными

лежат

скрещивающиеся

= ВС
 С1– середина А1В
(по т.Фалеса) 
С

С1- средняя линия ∆АА1В 

С С1= 0,5АА1 = 11 см

Ответ: 11см.

E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что

DE  α

Доказательство:

1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 

2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)

 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

Задание 3