Замечательные пределы и следствия из них

Функции одного порядка. Символ «О-большое»
Эквивалентные функции
Функция, бесконечно малая по

сравнению с другой функцией. Символ «о-малое»
Асимптотическое представление функций

точке О.


A
D
B
C
O
R=1
x
x









Пусть
Тогда ∠ AOB = x (рад.),

п
Пусть S1

– площадь треугольника AOB,
S2 – площадь сектора AOB,
S3 – площадь треугольника AOD.

S1= 0,5⋅(OA)2⋅sinx = 0,5⋅sinx,

S2= 0,5⋅(OA)2⋅x = 0,5⋅x,

S3= 0,5⋅OA⋅DA = 0,5⋅tgx.

S1 < S2 < S3

что



Оценим разность:




Итак, по теореме о двух милиционерах, имеем:

Положим n = [х]. Тогда х = n + α,

где 0≤α<1.

Тогда

теореме «о двух милиционерах»

– у. Тогда








Итак, мы установили, что

b в некоторой проколотой окрестности точки а.
Тогда в точке а

существует предел сложной функции


ПРИМЕР.

х→0; x = siny.
Пусть arctgx = y.
Tогда y→0 при

х→0; x = tgy

= y.
Tогда y→0 при х→0; x = ln(1+y).

1.
Тогда (1+x)a = y + 1 ⇒

aln(1 + x) = ln(1+y).

1 при х → 0

→ а при х → 0.

и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки а и

отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Эти функции называются функциями одного порядка при х → а, если существует



В этом случае будем использовать обозначения:
f(x) = О(g(x)) и g(x) = О(f(x)) при х → а.


ПРИМЕР.
f(x) = 100 + x; g(x) = cosx .
Это функции одного порядка при х → 0, так как

(читается «О-большое от g(x)»)

проколотой окрестности точки а и отличны от нуля во всех

точках этой окрестности. Эти функции называются эквивалентными (асимптотически равными) при х → а, если



ПРИМЕРЫ.
1) sinx ~ x при х → 0 ;

2) ~ x2 при х → ∞.

Если сравниваемые функции обе бесконечно малые или бесконечно большие при х → а, то их эквивалентность означает, что скорость их стремления к нулю или к бесконечности одинакова.

В этом случае используют обозначение: f(x) ~ g(x) при х → а.

Тогда при х → а

sin(α(х)) ~ α(х)
arcsin(α(х)) ~ α(х)
tg(α(х))

~ α(х)
arctg(α(х)) ~ α(х)
1 – cos(α(х)) ~ α2(х)/2
ln(1+α(х)) ~ α(х)
eα(х) – 1 ~ α(х)
sh(α(х)) ~ α(х)
(1 + α(х))k – 1 ~ kα(х)

f1(x), g(x) ~ g1(x) при х → а.
Тогда, если

существует , то существует и ,

причем


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.



Последнее преобразование правомерно, так как обе функции отличны от нуля в проколотой окрестности точки а.
Поскольку обе части равенства равноправны, то предел, стоящий в левой части равенства, существует тогда и только тогда, когда существует предел, стоящий в правой части.

на эквивалентные, то получили бы следующий результат:



Итак, в случае суммы

или разности функций замену их на эквивалентные при вычислении предела производить нельзя!!!

«о-малое».
Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой окрестности

точки а и g(x) отлична от нуля во всех точках этой окрестности. Если


то функция f(x) называется бесконечно малой по сравнению с g(x) при х → а. При этом используется обозначение
f(x) = о(g(x)) при х → а.


В частности запись f(x) = о(1) означает, что f(x) – бесконечно малая при х → а.

ПРИМЕР.
х4 = o(x2) при х → 0, так как

(читается «о-малое от g(x)»)

х → а, а равенства, содержащие этот символ, читаются слева

направо (здесь С – постоянная):
o(C⋅g(x)) = o(g(x))
C⋅o(g(x)) = o(g(x))
o(g(x)) + o(g(x)) = o(g(x))
o( g(x) + o(g(x)) )= o(g(x))
o(gm(x))⋅o(gn(x)) = o(gm+n(x)) ( m, n∈ N)
gm-1(x)⋅o(g(x)) = o(gm(x)) (m∈ N)
(o(g(x))n = o(gn(x)) (n∈ N)
o(gn(x)) / g(x) = gn-1(x) (n∈ N, g(x) ≠ 0)

⇔ f(x) = g(x) + о(g(x)) при

х → а.

Доказательство.
Пусть f(x) ~ g(x) при х → а, то есть

Это значит, что

То есть f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.

Пусть f(x) = g(x) + о(g(x)) при х → а.

Тогда

→ а

sin(α(х)) = α(х) + о(α(х) )

arcsin(α(х)) = α(х) + о(α(х) )
tg(α(х)) = α(х) + о(α(х) )
arctg(α(х)) = α(х) + о(α(х) )
1 – cos(α(х)) = α2(х)/2 + о(α2(х) )
ln(1+α(х)) = α(х) + о(α(х) )
eα(х) – 1 = α(х) + о(α(х) )
sh(α(х)) = α(х) + о(α(х) )
(1 + α(х))k – 1 = kα(х) + о(α(х) )

Другая форма таблицы эквивалентных бесконечно малых.