Занимательная математика

и косинус.

и котангенса.
Основное тригонометрическое тождество
Примеры задач.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
Основные

свойства.

Синус и косинус в жизни.

посмотрите рисунок,
наша точка Р соответствует некоторому числу t числовой окружности,

тогда абсциссу точки  Р будем называть косинусом числа t и обозначать cos(t),
а ординату точки  Р назовем синусом числа t и обозначим sin(t).

Наша точка Р(t) = Р(x,y) тогда:
X = cos(t)
Y = sin(t)

А как будет выглядеть запись синуса и косинуса на математическом языке?

Давайте посмотрим:

числа t и обозначают tg(t).
Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и

обозначают ctg(t).

Стоит заметить, так как на 0 делить нельзя, то, для
тангенса cos(t) ≠ 0, а для котангенса sin(t) ≠ 0

Определение.

Так же важно определить понятие тангенса и котангенса числа t числовой окружности, запишем определения:

Х соответствует абсцисса координатной плоскости, а числу Y – ордината,

посмотрим определение синуса и косинуса на первом слайде и получим:

Важно, запомните!

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:

не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя

-sin(t)
cos(- t) = cos(t)
tg(- t) = -tg(t)
ctg(- t) =

-ctg(t)

sin(t + 2π •k ) = sin(t)
cos(t +2π •k ) = cos(t)

sin(t + π ) = -sin(t)
cos(t +π ) = -cos(t)

tg(t + π •k ) = tg(t)
ctg(t +π •k ) = ctg(t)

sin(t + π/2 ) = cos(t)
cos(t +π/2 ) = -sin(t)

и косинусы в обычной жизни?
На практике синусы и косинусы применяются

во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах.

t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности:

53π/4

= (12 + 5/4) • π = 12π +5π/4 = 5π/4 + 2π•6
Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)
sin(5π/4 + 2π•6 ) = sin(5π/4 ) = sin(π/4 + π)
cos(5π/4 + 2π•6 ) = cos(5π/4 )= cos(π/4 + π)
Воспользуемся свойством sin(t + π ) = -sin(t), cos(t +π) = -cos(t)
sin(π/4 + π )=-sin(π/4 )
cos(π/4 + π)=-cos(π/4 )
Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:

sin(53π/4 ) =

Синус и косинус.

cos(53π/4 ) =

числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже

точка числовой окружности то:

-49π/3 = -(16 + 1/3) • π = -16π +(-π/3) = (-π/3) + 2π•(-8)
Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)
sin(-π/3 + 2π•(-8) )=sin(-π/3 )
cos(-π/3 + 2π•(-8) )=cos(-π/3 )
Воспользуемся свойством sin(- t) = -sin(t), cos(- t) = cos(t)
sin(-π/3)=-sin(π/3 )
cos(-π/3)=cos(π/3 )
Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:

sin(-49π/3 ) = -

cos(-49π/3)=

sin(t) >
Пример
Синус и косинус.
Решение:
sin(t) – из определения, это ордината точки

числовой окружности.
Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой

и записать, каким числам t, они соответствуют - точки F и G на рисунке.

а) Точка F и G имееют координаты:
π/3 +2 π •k и 2π/3 +2 π •k

Ответ : a) t= π/3 +2 π •k и t= 2π/33 +2 π •k

б)π/3 +2 π •k

б) Уравнению y > ½ это дуга FG тогда:
π/3 +2 π •k

определения, это абсцисса точки числовой окружности.
Значит на числовой окружности

нужно найти точки с абсциссой равной 1/2 и записать, каким числам t, они соответствуют –
точки F и G на рисунке

а) Точка F и G соответствуют координаты:
-π/3 +2 π •k и π/3 +2 π •k

Ответ : а) t= -π/3 +2 π •k и t=π/3 +2 π •k
б) –π/3 +2 π •k

б) Уравнению x >1/2
соответствует дуга FG тогда:
-π/3 +2 π •k

числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже

точка числовой окружности то:

-7π/3 = -(2 + 1/3) • π = -2π +(-π/3) = (-π/3) + 2π
Воспользуемся свойством tg(x+ π •k ) = tg(x), ctg(x+π •k ) = ctg(x)
tg((-π/3) + 2π ) = tg(- π/3)
сtg((-π/3) + 2π ) = сtg(- π/3)
Воспользуемся свойством tg(-x) = -tg(x), ctg(-x) = -ctg(x)
tg(-π/3)=-tg(π/3 )
сtg(-π/3)=-сtg(π/3 )
Из таблицы значений получаем:
tg(-7π/3) = -tg(π/3 ) =

сtg(-7π/3) = -сtg(π/3 ) = -

t=61π/6, t= -52π/3
2) Решить уравнение a) sin(t)= -½, б) sin(t)

> -½ в) sin(t) < -½

3) Решить уравнение а) cos(t) = -½, б) cos(t) > -½, в) cos(t) < ½,

4) Вычислить тангенс и котангенс t при: а) t= 19π/6 б) t= 41π/4

Синус и косинус.