Затухающие колебания

не меняется (или почти не меняется), так как он не

Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени, называются затухающими колебаниями.

силы трения на OX:
Проекция квазиупругой силы на OX:
Проекция скорости на

Проекция ускорения на OX:

переписать в виде:
Разделим уравнение на m:
Введем следующие обозначения:
0 –

виде:
(1)
Мы получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
С точки зрения

- характеристическое уравнение.

общим решением дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является

Подкоренные выражения в формулах, определяющих корни характеристического уравнения, в зависимости от значений параметров  и  могут быть как положительными, так и отрицательными. Это приводит к тому, что существует два класса решений.

то подкоренное выражение будет отрицательным, а корни характеристического уравнения –

Обозначим

тогда

Решение уравнения в этом случае будет иметь вид:

Или в действительной форме:

Здесь A и 0 – произвольные постоянные имеющие смысл амплитуды и начальной фазы колебаний,

то подкоренные выражения в формулах, определяющих корни характеристического уравнения будут

0.

Решение можно рассматривать, как гармонические колебания, происходящие с некоторой частотой , амплитуда которых убывает по экспоненциальному закону.

колебаний и называется коэффициентом затухания. Она, в свою очередь, зависит

Частота затухающих колебаний  отличается от частоты 0, вычисленной для той же системы, но без учета трения

и периодов несущественно и часто при решении практических задач в

Период затухающих колебаний:

Анализ уравнения движения.
Затухающие колебания.

специальные величины, характеризующие этот процесс. Величина, называемая декрементом затухания показывает,

Величина

равна натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний, измеренных через один полный период и называется логарифмическим декрементом затухания.

можно выразить, используя логарифмический декремент затухания:
называется коэффициентом затухания.

уменьшается в e раз называют временем релаксации колебаний.
Время релаксации

Согласно закону убывания амплитуды колебаний через время  после начала колебаний их амплитуда составит

система за время, равное времени релаксации. За один период число

За время  число колебаний системы составит

С другой стороны,

Следовательно,

совершаемых за время, когда амплитуда колебаний уменьшается е раз, называется

Q = Ne ,

Таким образом, чем выше добротность колебательной системы, тем большее число колебаний она сможет совершить за то время, пока амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Высокодобротные колебательные системы обладают малым затуханием, и наоборот, низкодобротные характеризуются высоким затуханием.

> 0. В этом случае подкоренные выражения в формулах, определяющих

следовательно, 1 и 2 отрицательны и оба слагаемых в решении представляют собой монотонно убывающие функции.

 > 0, и

В этом случае колебательный процесс не возникнет, а движение тела будет апериодическим (то есть непериодическим). Тело, выведенное из положения равновесия, вернется в это положение и остановится.

возникновения апериодического процесса является  > 0, то есть
Это

Если же

в системе возникнут затухающие колебания .

что в результате трения часть механической энергии маятника переходит в