Зависимость функции распределения Максвелла от массы и температуры гааза

нас смесь газов, то в пределах каждого сорта газа будет

своё распределение со своим m


Можно проследить за изменением f(υ) при изменении m и T: m1>m2>m3 (T=const) или T1>T2>T3 (m=const) (рис. 13.5). Площадь под кривой f(υ)=const=1 поэтому важно знать как будет изменяться положение максимальной кривой.

только для газа в равновесной системе. Закон статически и выполняется

тем лучше, чем больше число молекул.

формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах. Относительную
(13.23)


(13.24)
Это уравнение

универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа ни от температуры.

Cодержание

на какой-либо высоте h обусловлено весом выше лежащих слоёв газа.

Пусть p – давление на высоте h, p+Δp – на высоте h+Δh (рис. 13.6). Причём dh>0, dр<0, так как на большой высоте давление меньше. Разность давления p–(p+dp) равна весу газа, заключённого в объёме цилиндра с площадью основания равного единице и высотой dh, p=ρqh, ρ медленно убывает с высотой.

тогда

(13.26)
где р0 – давление на высоте h=0.
Это барометрическая формула.

Из формулы сле-дует, что р убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже температура.

у поверхности Земли. На (рис. 13.7) изображены две кривые, которые

можно трактовать либо как соответствующие разным μ (при одинаковой Т) либо как отвечающие разным Т (при одинаковых μ), то есть чем тяжелее газ и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.

Cодержание

МКТ (p0=nkT), заменим p и p0 в барометрической формуле на

n и n0.
Получим
(13.27)

где n0 − число молекул в единице объёма на высоте h=0, n – число молекул в единице объёма на высоте h.
Так как μ=mNА, R=NАk, то

(13.28)

Модель: Распределение Больцмана

убывает. При Т=0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы

на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия, то на разных высотах Wn=mgh – различно. Следовательно (13.28) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

(13.29)
– это функция распределения Больцмана.

поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для

совокупности любых одинаковых частиц, находя-щихся в состоянии хаотического теплового движения.
Итак, Максвелл дал распределение частиц по значениям кинетической энергии, а Больцман – по значениям потенциальной энергии. Оба распределения можно объёдинить в один закон – распределение Максвелла–Больцмана.

Cодержание

для распределения молекул по скоростям (распре-деление Максвелла):

(13.30)
Из этого выражения легко

найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии Wк. Для этого перейдём от переменной υ к переменной Wк=mv2/2, то есть, подставим в предыдущее выражение и dυ=2mWкdWк:

заключённую в интервале от Wк до Wк+dWк. То есть функция

распределения молекул по энергиям теплового движения:
(13.32)
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

то есть получим результат совпадающий с прежним результатом.

а закон Больцмана – даёт распределение частиц по значениям потенциальной

энергии. Оба распределения можно объединить в один закон Максвелла–Больцмана, согласно которому, число молекул в единице объёма, скорости которых лежат в пределах от υ до υ+dυ равно


(13.33)

распределения Максвелла-Больцмана, где n0 – число молекул в единице объёма

в той точке, где Wп=0, mv2/2=Wk;

полная энергия W могут принимать непрерывный ряд значений. Если же

энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений W1, W2 ... (как это имеет место, например, для внутренней энергии атома), то в этом случае распределение Больцмана имеет вид:

(13.35)
где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Wi, а А – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию:
(13.36)

окончательное выражение распределения Больцмана для случая дискретных значений


(13.37)
Cодержание

из N частиц, энергии которых могут прини-мать дискретные значения (W1,

W2 ... Wn), то говорят о системе квантовых чисел.
Поведение такой системы описывается квантовой статистикой, в основе которой лежит принцип неразличимости тождественных частиц. Основная зада-ча этой статистики состоит в определении среднего числа частиц, находящихся в ячейке фазового пространства: «координаты–проекции импульса» (x, y, z и Px, Py, Pz) частиц. При этом имеют место два закона распределения частиц по энергиям (две статистики).

описывает квантовые частицы с целым спином (собственный момент движения). Их

называют бозоны (например фотоны). Вторая формула описывает квантовые частицы с полуцелым спином. Их называют фермионы, например: электроны, протоны, нейтроны).