Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств

ИБРАГИМОВ Р.Ф.

неравенство, ему равносильное:
Для его решения исследуем
знак

разности
Итак, выясним, что следует из того, что

Если a > 1, то f( x ) > g( x ), а это значит, что ( a – 1)( f( x ) – g( x )) > 0.
2) Если 0 < a < 1, то f( x ) < g( x ), и опять ( a – 1)( f( x ) – g( x )) > 0.

Верно и обратное. Если то при имеем то есть
а при получаем то есть
Таким образом, мы доказали, что:

Знак разности совпадает со знаком выражения

А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

, стоящее в каждой скобке, на

выражение , имеющее с ним тот же знак:


А значит,


Равносильное неравенство имеет вид так как для всех x.
Решая это неравенство методом интервалов, получаем

Ответ:

- -1 0 1 2

- + + - + - +

и найдём
соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства:
f(x) > 0.
Если a>1, то тогда и только тогда, когда f(x) > 1 в ОДЗ
( f(x) < 1), то есть
Если 0 1), то есть опять
Верно и обратное, если то при a > 1 имеем f(x) > 1 в ОДЗ ( f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f(x) < 1 в ОДЗ ( f(x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности:


Знак совпадает со знаком выражения в ОДЗ (f(x) > 0).
Теорема: Для любого действительного числа а > 0, а ≠ 1 неравенство:




Следствие: Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда имеет тот
же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.

Пример: Решить неравенство:

Решение:

Ответ:

числа а > 0, а = 1 неравенство






Следствие:
Разность логарифмов

по одному и тому же основанию всегда имеет тот же знак, что и произведение при всех допустимых значениях переменных.

заменим их рациональными выражениями, имеющими те же промежутки знакопостоянства:












Пользуясь методом

интервалов, получаем:


Ответ:

метода приведение логарифмов

к одинаковому основанию,большему 1 применение равносильного преобразования
Применим формулу перехода к новому основанию и воспользуемся свойствами логарифмов:




Теперь остается воспользоваться преобразованием. Итак,

2).
Не вызывает сомнений, что в ряде случаев изложенный метод позволяет

решать логарифмические неравенства, содержащие переменную в основаниях логарифмов, быстрее и эффективнее других методов.

и эффективному освоению математических знаний, формируют культуру математического мышления, развивают

мотивацию к учебе.
Следовательно, «Нестандартные методы решения показательных и логарифмических неравенств» являются продуктивным походом в формировании математических знаний, умений и навыков.

– М.: Аст, 1999 г.
2. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.

«Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс» – М.: Просвещение, 1991г.
3. Шестаков С.А. «Замени функцию». «Математика», № 8/2002.