Симметрия функций и преобразование их графиков

функции. Ввести понятие чётной и нечётной функции. Освоить основные способы

преобразования графиков.
Воспитание интереса к математике.
Развитие зрительного восприятия предмета.

f(x)→ f(- x)
Симметрия относительно оси х, f(x)→ - f(x)
Параллельный

перенос вдоль оси х, f(x)→f(x-а)
Параллельный перенос вдоль оси у,f(x) → f(x)+b
Сжатие и растяжение вдоль оси х, f(x) → f(αx), α>0
Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) → kf(x),k>0
Построение графика функции у = | f (x) |
Построение графика функции у = f( | x | )
Построение графика обратной функции

некоторого заданного множества сопоставляет единственное число у.
Обозначение: у = f(х),

где х –независимая переменная (аргумент функции), у –зависимая переменная (функция).
Множество значений х называется областью определения функции.(D)
Множество значений у называется областью значения функции.(Е)

D

E

y

x

y = f (x)

у(6) = √6 – 2 + 3 = 5
Найдём

область определения. х - 2 ≥ 0, х ≥2⇒
D(у) = [2; +∞); Так как по определению
арифметического корня 0 ≤ √х – 2 ≤ +∞,
0 + 3≤ √х – 2 + 3 ≤ +∞+ 3, или 3 ≤ у ≤ +∞,
Е(х) = [3; +∞)

3 + 1 .

х-2
Функция определена при х - 2 ≠ 0, то есть х ≠ 2⇒
D(у) = (-∞;2) U (2; +∞);
Так как при всех допустимых значениях х дробь
1/(х-2) не обращается в нуль, то функция f (x) принимает все значения, кроме 3. Поэтому
Е(f) = (-∞;3) U (3; +∞);

1 + 3 х + 4

.
х-2 (х - 1)(х + 3)
Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1, х = -3. Поэтому область определения
D(f) = (-∞;-3) U (-3; 1) U (1; 2) U (2; +∞);

3

х2 + 1
Уже не является функцией. При х = 1, пользуясь
верхней формулой, найдём у = 2*1 – 3 = -1, а
пользуясь нижней формулой, получим
у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению
х =1 соответствуют два значения у (у=-1 и у=2). Поэтому эта зависимость (по определению) не
является функцией

у(х) =

у = х2, у = ax + b
Табличный способ: функция

задаётся с помощью таблицы.
Описательный способ: функция задаётся словесным описанием.
Графический способ: функция задаётся с помощью графика.

(х; f(х))

у

х1

f(х1)

х2

f(х2)

х

+ 4. Принадлежит ли
графику этой функции точка с координатами
а)

(-2; -6); б) (-3; - 10)
Решение.
а) при х = -2, у = 2· (-2) -3·|-2| + 4 = - 4 - 3·3 + 4 =-6
Так как у(-2) = -6, то точка А(-2; -6) принадлежит
графику функции.
б) при х = -3, у = 2· (-3) -3·|-3| + 4 = - 6 - 3·3 + 4 =-11
Так как у(-3) = -11, то точка В(-3; -10) не принадлежит
графику функции

8. Найдём точки
пересечения графика функции с осями координат.
Решение.
1) Точка

пересечения с осью ординат, при х=0,
у(0) = - 02 + 6·0 – 8 = - 8. Получаем координаты этой точки
А(0; -8)
2) Точка пересечения с осью абсцисс, при у =0,
0 = - х2 + 6х – 8, х2 - 6х + 8=0, D = 36 – 32 =4,
x1= (6-2)/2=2,
x1= (6+2)/2=4. Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в двух точках: В(2; 0) и С(4;0)

Графиком ф-и у = f (- х) получается
преобразованием симметрии
графика ф-и у = f (х) относительно
оси у.


у = х2 = (-х)2

у=√х

у = f (-х)

у

у

у

х

х

х

у=f(х)

у=√-х

График ф-и у = - f (х) получается
преобразованием симметрии
графика ф-и у = f (х) относительно
оси х.

у = х2








у= - sinx

у= f(х)

у = - х2

у = - f (х)

у= sinx

у

у

у

х

х

х

нуля,
для любого х из области
определения f (- х) =

f (х)
График чётной функции
симметричен относительно оси у

Функция наз-ся нечётной, если:
область определения
функции симметрична
относительно нуля,
для любого х из области
определения f (- х) = - f (х)
График нечётной функции
симметричен относительно начала
координат

х

у

х

у

Графиком ф-и у = f (х-a) получается парал –
лельным переносом графика ф-и вдоль
оси х на |a| вправо при а >0 и влево при а <0.
|а|



-3 0 2


у=sinx

у=х2

у

у

у

х

х

х

у=(х+3)2

у=(х-2)2

у=f(x-а)

у=f(x)

у=sin(x-π/3)

Графиком ф-и у = f (х)+b получается парал –
лельным переносом графика ф-и у = f (х)
вдоль оси y на |b| вверх при b >0 и вниз
при b <0.
у=f(x)-b
у=х2

х

х

х

у

у

у

у=sinx

у=sinx+1

у=f(x)

у=х2 -2

у=х2+1

|b|

α>0

График функции у = f (α x) получается сжатием
графика функции у =f (x) вдоль оси х в α раз
при α >1
График функции у = f (α x) получается растяже-
нием графика функции у =f (x) вдоль оси х в
1/α раз при 0 <α <1

у=√х

у=√х/2
у=sin1/2x


у=sinx
у=sin2x

х

х

х

у

у

у

f(αx)

f(αx)

f(x)

у=√х

График функции у = kf (x) получается сжатием
графика функции у =f (x) вдоль оси y в 1/k раз
при 0 График функции у = f (α x) получается растя-
жением графика функции у =f (x) вдоль оси y в
k раз при k>1
у=1/2х2
у=2sinx

у=1/2sinx

у

у

у=sinx

х

х

х

у=kf(x)

у=kf(x)

у=f(x)

у

Части графика функции у = (х), лежащие
выше оси х и на оси х остаются без
изменения, лежащие ниже оси х –
симметрично отражаются относительно
этой оси (вверх)
1 3


0 1

у

у

у

х

х

х

y=|log2x|

y=|x2-4x+3|

y=|sinx|

y=log2x

y=sinx

y=x2-4x+3

Часть графика функции у = (х), лежащая
левее оси х и на оси у удаляется, а часть,
лежащая правее оси у - остаётся без
изменения и, кроме того,
симметрично отражается относительно
оси у (влево). Точка графика, лежащая на
оси у, остаётся неизменной.

у

у

y=x2-4|x|+3

х

х

y=x2-4x+3

y=sinx

y=sin|x|

данной для функции у = f (х), можно
получить преобразованием симметрии

графика ф-и у = f (х)
относительно прямой у= х.



1 1

0 1
0 1
y=cosx

-1 0 1
y=sinx

у

у

у

х

х

х

у = 2х

y= log2x

y=arcsinx

y =arccosx

такое область определения?
Что такое область значения?
Как найти точки пересечения с

осями координат?
Какие свойства симметрии вы изучили?
Как проявляются свойства симметрии на графиках?
Задание на дом гл.7, занятие 4, стр. 133 – 136. Вопросы и упражнения 1- 11.