Свойства корня n-ой степени.

корня n-ой степени.

действительного числа. Как и практически все математические объекты корни n-ой

степени обладают некоторыми свойствами, сегодня мы и займемся изучением этих свойств.

Все свойства, которые мы с вами рассмотрим, формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаком корня.

Однако заметим, в случае нечетного показателя корня они выполняются и для отрицательных переменных.

чисел равен произведению корней n-ой степени этих чисел:


Доказательство. Ребята для

доказательства теоремы давайте введем новые переменные, обозначим:
Тогда нам надо доказать x=y·z.
Заметим, что выполняются и такие тождества:
Но тогда выполняется и такое тождество:


Степени двух неотрицательных чисел и их показатели равны, тогда и сами основания степеней равны, то есть x=y·z. Что и требовалось доказать.

число, большее одного тогда выполняется следующее равенство:



То есть корень n-ой

степени частного равен частному корней n-ой степени.
Доказательство.
В этот раз для доказательства воспользуемся упрощенной схемой в виде таблицы:

Представим подкоренное выражение в виде неправильной дроби:


Воспользуемся теоремой 2:

– натуральное число, больше 1, то справедливо равенство:


Чтобы возвести корень

в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Доказательство.
Давайте рассмотрим частный случай для k=3. Воспользуемся теоремой1.


Так же можно доказать и для любого другого случая.
Ребята докажите сами для случая когда k=4 и k=6.

одного, то справедливо равенство:


Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить

показатели корней.
Доказательство.
Докажем опять кратко, используя таблицу.








Пример.

умножить на одно и тоже натуральное число, то значение корня

не изменится:


Доказательство.
Принцип доказательства нашей теоремы такой же как и в других примерах введем новые переменные:



Последнее равенство возведем в степень p


Получили:


То есть: что и требовалось доказать.

поэтому мы не можем воспользоваться теоремой1, но воспользовавшись теоремой5 мы

можем получить равные показатели.

5. Выполнить действия: