Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функций

«СОШ № 26»

(x), и касательная к нему в точке с абсциссой х0.

Решение.

Ответ: - 0,5 .

Ответ: 0,75.

С

В

А

a)

б)

(x),
определенной на интервале (-8; 3). Определите количество целых точек,

Решим эту задачу, воспользовавшись следующим утверждением. Производная непрерывно дифференцируемой функции на промежутке убывания (возрастания) не положительна (не отрицательна). Значит необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел, принадлежащих этим промежуткам. Причем производная равна нулю на концах этих промежутков, значит, нужно брать только внутренние точки промежутков.

Решение.

Целые решения:
х=-7; х=-6; х=-2; х=-1.
Их количество равно 4.

Ответ: 4.

Теоретические сведения.

(x), определенной на интервале (—8; 5). Определите количество целых точек,

Решение.

Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3.
Их количество равно 6.

Ответ: 6.

тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с

Задача 4. На рисунке изображен график функции y = f (x),
определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в
которых производная функции y = f (x) равна 0.

Теоретические сведения.

Решение.

если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const.

Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной.

Ответ: 8.

(x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
которых

Решите устно!

Ответ: 7.

Ответ: 7.

Ответ: 8.

Ответ: 6.

1

3

4

2

f (x), определенной на интервале (-8; 3). Найдите количество точек,

Решение. Прямая у = 8 — горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, при решении этой задачи можно воспользоваться решением задачи 2, то есть приложить линейку или край листа бумаги горизонтально и, двигая его «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

Ответ: 5.

(x),
определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в
которых

1

3

4

2

Решите устно!

Ответ: 4.

Ответ: 9.

Ответ: 8.

Ответ: 9.

определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции f

На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3) и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке.

Решение.

Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.

Ответ: -3.

-3

+

-

определенной на интервале (a; b). Найдите точку экстремума функции f

Решите устно!

1

3

4

2

Видно, что таких точек на отрезке [-2; 7] три: —1,5;

Решение.

Ответ: 1 .

4,5

-

+

Задача 10. На рисунке изображен график производной функции y = f (x), определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7].

= f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество

Решение.

Ответ: 1 .

Ответ: 3 .

a

b

a

b

x0  - точка максимума, если производная при переходе через x0  меняет свой знак с плюса на минус.

-

+

Условие выполняется в точке x = 3.

Решение.

Условие выполняется в точках: -1; 8; 13.

1

Решение аналогично.

2

= f (x), определенной на интервале (x1; x2). Найдите количество

Ответ: 4 .

Ответ: 4 .

1

2

= f (x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки

В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.

Решение.

В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:
-1-(-7) = 6.

Ответ: 6 .

-10

-7

-1

2

6

на интервале (x1; x2). Найдите промежутки убывания функции f(x). В

1

Решение.

Решение.

Ответ: 6 .

Ответ: 3 .

Найдем промежутки убывания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) < 0.

Наибольшую длину из них имеет промежуток (-10; -4)

-10

-4

Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´(x) < 0.

Наибольший из них имеет длину равную 3.

6

3

2

на интервале (x1; x2). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В

3

Решение.

Решение.

Ответ: 4 .

Ответ: 4 .

Найдем промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f´(x) > 0.

Наибольшую длину из них имеет промежуток (2; 6).

Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´(x) > 0.

Наибольший из них имеет длину равную 4.

4

на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна 2.
Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5.

Решение.

y = 2

Ответ: 5 .

на интервале (x1; x2). Найдите количество точек, в которых касательная

1

Решение.

Ответ: 3 .

Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x+7 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2.

Найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.

Решение.

Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f´(x)= -2.

Ответ: 4 .

y = -2

y = -2

2

на интервале (x1; x2). Найдите абсциссу точки, в которой касательная

Для того чтобы найти искомую абсциссу, выясним, в какой точке f´(x) = - 4. Для этого проведем горизонтальную прямую y = - 4 и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной. Она и будет искомой абсциссой точки касания.

Решение.

Ответ: 2 .

Решение.

Поступим аналогично, найдем точку, в которой f´(x) = - 4, проведем горизонтальную прямую y = - 4 и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной.

Ответ: -1 .

5

6