Гипотеза пуанкаре и терстона

два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение

, которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и
1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в различные;
2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие;
3) обратное отображение непрерывно, то множества и – гомеоморфны, а отображение называется гомеоморфизмом.

Рис. 1

Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1)

ручками, либо сфере с q листами Мебиуса, причем сферы с

ручками не гомеоморфны сферам с листами Мебиуса, так как второй ряд поверхностей образуют неориенти-руемые поверхности. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса также негомеоморфны между собой.

Рис. 6

, проходящие через фиксированную точку P , называются

гомотопными, если их можно непрерывно деформировать одна в другую. И мы уже можем рассматривать класс гомотопных петель.

где сомножители -

замкнутые неприводимые трехмерные многообразия, -декартово произведение окружности на двумерную сферу и в связную сумму входит r –компонент. множители имеют бесконечную фундаментальную группу, множители - конечную фундаментальную группу.

несжимающихся торов на компактные многообразия, границей которых есть торы.Каж-дое из

этих многообразий или торонеприводимо или является многообразием Зейферта.
Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Пусть – ком-пактное трехмерное односвязное многообразие (т.е. любая петля на многообразии стягивается в точку). Верно ли, что это многообразие гомеоморфно трехмерной сфере ?

1) в окрестности каждой точки выглядят одинаково, пространство является однородным;
2)

задаются на односвязном многообразии;
3) и для каждой геометрии существует трехмерное компактное многообразие, на котором она задается.
Существование только 8 геометрий приписывается Терстону, но это следует из результатов Бианки. Перечислим их:
1) – метрика стандартной единичной сферы в ;
2) – евклидово пространство;
3) – трехмерное пространство Лобачевского;

; 5)

;
Возьмем пространство единичных окружностей в касательных пространствах к плоскости Лобачевского . В нем вводится естественная метрика Сасаки. Универсальное накрывающее пространство и есть
6) ; 7) Nil ;
Это трехмерная группа Гейзенберга, состоящая из матриц ,

умножения и на ней задана метрика


Sol .
Это трехмерная группа,

на которой задана метрика
.

Заметим, что только сфера является односвязным компактным многообразием, на котором задана стандартная геометрия.

торами на куски, на которых можно задать одну из стандартных

геометрий.

есть риманово неприводимо компактное многообразие, на котором в локальных координатах

метрика задается в виде

and the battle over who soved it. (The new Yorker.)

http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2.21.08.2006г. Русский перевод vadda. http:// vadda.livejournal.com